Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Бернштейн С.Н. Собрание сочинений Том2 Конструктивная теория функций
 
djvu / html
 

Принимая во внимание, что то же рассуждение может быть сделано, переставляя точки — 1 и + 1> получаем также
2 А < 2 Р &) + Ра ^ 2
тг _
откуда заключаем, что
\
2 А > тс (r^-i) = * ы — р ы»
причем, за исключением случая CX^^Ti (КОГда правая часть равна нулю), существует только одна формула квадратур (5), где равенство имеет место.
Из этих неравенств вместе с неравенствами (14) и (14 bis) можно было бы также получить теорему II.
Тем более имеет место неравенство
(16)
где знак равенства цри х^г невозможен, так что правая часть представляет недос7пигаемый минимум для сумм Т (х) [к которому Т(х), конечно, может сколько угодно приблизиться, так как IT (х) — р (х] яв-
ляется достигаемым минимумом для ^ Pi
Следствие I. Если одна из абсцисс xi в формуле квадратур (12) яв^
ляется корнем уравнения F(x, а)(1 — х) = 0 или Ф (х, а) (1 + х) = 0 и .г. есть соседний корень того же самого из этих уравнений, то
xl, причем знак равенства имеет место лишь тогда, когда все абсциссы являются корнями того же самого уравнения.
Действительно, если Xi<^xl два смежных корня одного из уравнений (1 —x)F(x, а) = 0 или (1 + х)Ф(х, а) = 0, то
Л г\ "^^.ьЛ/Л «Л- Л V^ «Л- Л
2 /?,-<те(^) = тсЮ — ?ю< 2
причем знаки равенства осуществляются лишь тогда, когда все абсциссы Xj являются корнями одного и того же уравнения (1 — x)F(x, а) = О или (1 + х) Ф (.т, а) = 0. Следовательно, за исключением этого случая,
§ 3. Если вместо отрезка [ — 1, + 1] взять любой отрезок АВ и рассматривать формулы квадратур с положительными коэффициентами GI в п
if(yi), (Сг>0, 4<2/1<.-.<2/п<5), (17)
i=i
210

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620


Математика