Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Бернштейн С.Н. Собрание сочинений Том2 Конструктивная теория функций
 
djvu / html
 

Принимая во внимание соотношение (32), которое пишется в виде
(32')
имеем также
(*)] ~ -- 4 [fa (*)] (42)
при всяком многочлене
Замечание, сделанное выше, позволяет отбросить в предыдущих асимптотических формулах ограничение, что корни th (x) простые. Так, в частности, когда th(x)=p^(x) есть полный квадрат, формула (41) совпадает (в других обозначениях) с той, которая дана в моей заметке *• [13] (том I), где я указал впервые асимптотическое выражение (39).
5. Мы распространим теперь формулы (41) и (32') и, следовательно, формулу (42), которая из них вытекает, на случай, когда th равномерно стремится к любой непрерывной функции 2.
Для этого заметим, что неравенство
(43) влечет за собой
п
каково бы ни было п. Следовательно, ввиду (32'), можно взять п доста точно большим, чтобы иметь
2e) <Я }<=Mh(l + 2s). (44)
Следовательно, если t^ (x) есть другой многочлен, близкий к t (x) и также удовлетворяющий (43), то, так как соответствующая ему величина Mh должна также удовлетворять (44), мы будем иметь

откуда следует, что существует вполне определенное число
М = lim Mh = lim |i- . .. ~ , (45)
/i-^oo h-^oo ^al *uh
не зависящее от способа выбора последовательности многочленов t^ (x), стремящихся равномерно к функции t(x). В силу (44) и (41) имеем
(46)
1 См. также «L. S.», стр. 15—19.
2 См. § 6 первой главы «L. S.».
20

 

1 10 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620


Математика