Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Бернштейн С.Н. Собрание сочинений Том2 Конструктивная теория функций
 
djvu / html
 

54
ОБ ОДНОМ ВИДОИЗМЕНЕНИИ ИНТЕРПОЛЯЦИОННОЙ
ФОРМУЛЫ ЛАГРАНЖА *
1. В моем докладе [47] (том I) на Всесоюзном математическом съезде в Харькове я поставил следующий вопрос: нельзя ли построить интерполяционные многочлены степени М <[ \N для произвольной непрерывной функции f(x), совпадающие с нею в 'N определенных точках и равномерно сходящиеся к рассматриваемой функции, когда N стремится к бесконечности, если фиксированное число X меньше1, чем 2?
Я дам здесь положительный ответ на этот вопрос и, кроме того, покажу, что число X должно быть подчинено единственному требованию Х^>1 (см. также [48] (том I)).
Можно было бы расширить класс интерполяционных многочленов, обладающих требуемым свойством, но для определенности мы рассмотрим класс многочленов, которые соответствуют корням многочлена Чебышева
Тп (%) = cos n arc cos x,
принимая, что рассматриваемый отрезок приведен к отрезку [—1, 1]. Известно, что интерполяционные многочлены Лагранжа
p (r\ _ т1 (r\ V у ^^ /л ч
*п \Х) — J. п (X) 2j -{—_--- / —- (1)
с узлами Xk = cos Ik-----^- i -^- , вообще говоря, не сходятся к- функции
/(ж). Достаточные условия для сходимости в существенном те же, что и для сходимости соответствующих рядов Фурье: так, известно, что для сходимости достаточно, чтобы / (х) удовлетворяла условию Дини—Лип-
* «Sur une modification de la formule ^'interpolation de Lagrange». Зап. Харк. матем. тов., 5 (1931), стр. 49—57 (159*).
1 При X = 2 требуемым свойством обладает интерполяционная формула Джексона (Jackson. A formula of trigonometric interpolation. Rend, del Gircolo Mat. di Palermo, 37 (1914)). См. также мои заметки [16] (том!) и (66*) и недавнюю работу Фейера, которая также относится к случаю X = 2.
130

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620


Математика