Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Бернштейн С.Н. Собрание сочинений Том2 Конструктивная теория функций
 
djvu / html
 

и
при г — 1, 2, . . . , гг, то имеем
Но в этом случае Sn (6) = ^о + ^i cos 6 + . • • + ^4n cos /гб, так как разность Sn (6) — Sn (— 6), кроме 2п корней Ч^ 6i? имеет еще корень 6=0, и, следовательно, тождественно равна нулю. Итак, полагая х = cos 6 и замечая, что Sn (в) = РП (х) — многочлен степени п, констатируем, что при произвольном выборе пг-\- 1 точек ai — cos 6i (z = О, 1, . . ., п), если
Pn(ai) 2 [—1, 1] не может асимптотически оставаться меньше—log п.
Итак, рассмотрим общий случай, когда 60, 61? . . . , 62П — произвольные точки отрезка [0, 2тс]. Без ограничения общности можем положить 60 = 0. Тогда тригонометрическая формула интерполирования будет иметь вид
ОП
^П («У
(0)
0
i=o sin —
(35)
где
2
0 . 0 — 0i
sin -г- sm —<у— • . . sin
_! Lj
(36)
Таким образом,
Fn (6) =
я Ч (б)
2n VI 1
i n sin QI t — U 2
(37)
представит в каждой точке 0 наибольший модуль, которого действительно может достигнуть тригонометрическая сумма Sn (6) порядка гг, подчиненная условию не превосходить по модулю 1 в точках 6^.
Заметим, что тригонометрические суммы, осуществляющие максимум, имеют действительные коэффициенты (или все одного аргумента), так как они соответствуют случаю, когда все слагаемые в (35) одного знака.
Рассмотрим выражение
1
н- =
sn
in St |/si
sin sin
sn
sn
(38)
120

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620


Математика