Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Халмош П.Р. Теория меры
 
djvu / html
 

90 ГЛАВА IV. ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ
больших я, так без дальнейших пояснений мы будем пользоваться понятием последовательности, фундаментальной в этом новом смысле, т. е. такой, для которой при больших тип разность /т — /п близка в указанном смысле к нулю.
Первым из таких „новых" понятий сходимости появится равномерная сходимость почти всюду. Последовательность функций { /я } называется почти всюду равномерно сходящейся к функции /, если существует такое множество Е0 меры нуль, что, каково бы ни было 8>0, можно указать целое число я<)~ло(г)» обладающее тем свойством, что
!/*(*) -/(*)!<•
для всех п^п0 и для всех х из X — EQ. Другими словами, {/п} сходится равномерно (в обычном смысле) вне множества Е0. И в этом случае, как легко проверить, последовательность сходится равномерно почти всюду тогда и только тогда, когда она почти всюду равномерно фундаментальная.
Следующий результат, известный под названием теоремы Егорова, устанавливает интересную и очень полезную связь сходимости почти всюду с равномерной сходимостью.
Теорема 1. Пусть Е — измеримое множество конечной меры и { fn } — последовательность почти всюду конечных измеримых функций, сходящаяся почти всюду на Е к конечной измеримой функции /. Тогда для всякого е > 0 в Е существует измеримое подмножество F, такое, что |х(/7)<е, и на множестве Е — F последовательность {fn} сходится к f равномерно.
Доказательство. Исключая из Е, если это нужно, некоторое множество Е0 меры нуль, мы добьемся того, что {fn} будет сходиться во всех точках множества Е — ?0. Поэтому мы вправе сразу предположить, что последовательность {fn} сходится к / на всем Е. Пусть
тогда
E?cEf<= ... ,
и так как { /я } сходится к / на Е, то
Ее \\mEn
П
при любом т = 1, 2, ... Отсюда следует, что \im\i (Е
п
поэтому для некоторого п0 = п0(т)

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290


Математика