Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Халмош П.Р. Теория меры
 
djvu / html
 

SO ГЛАВА iv. ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ
и называть /-^(М), т. е. множество всех тех точек из X, которые функцией / отображаются в множество Af, прообразом множества М (при отображении /). Если, например, / — характеристическая функция некоторого множества ?", заключенного в Ху то /"1 ({!}) = Е и /-1(°}) = ?/; вообще
или
соответственно в тех случаях, когда М не содержит ни 0, ни 1, содержит 1 и не содержит 0, содержит 0 и не содержит 1 и содержит как 1, так и 0.
Легко проверить, что, какова бы ни была функция /,
п-\
другими словами, отображение f~l подмножеств числовой прямой на подмножества А" сохраняет теоретико-множественные операции. Отсюда, в частности, следует, что если Е — класс множеств на числовой прямой, обладающий определенными алгебраическими свойствами (например, Е есть кольцо или о-кольцо), то/~'1(Е) — класс множеств вида f~l(M), где М ?Е, — обладает теми же алгебраическими свойствами. Наибольший интерес для нас в дальнейшем будет представлять тот случай, когда Е — класс всех борчелевских множеств на прямой. Предположим теперь, что в X выделено, кроме того, некоторое о-кольцо S подмножеств, так что мы имеем измеримое пространство (X, S). Для всякой функции /, заданной на X и принимающей действительные значения (конечные или бесконечные), обозначим
Действительную функцию, обладающую тем свойством, что, каково бы ни было борелевское множество М на числовой прямой, множество N(f)[\f-l(M) измеримо, мы. назовем измеримой функцией.
В связи с этим определением нужны некоторые пояснения. Прежде всего следует подчеркнуть особую роль, которую играет в множестве значений функции число 0. Причина этого кроется в тем, что нуль служит единичным элементом аддитивной группы действительных чисел. В следующей главе будет введено понятие интеграла, применимое к некоторым измеримым функциям, — бесспорно, важнейшее понятие в теории меры. Тот факт, что интегрирование можно рассматривать как своего рода обобщенное суммирование, заставляет особым образом подходить к числу 0.
Пусть / — измеримая функция на X. Если в качестве М взять всю числовую прямую, то мы получим, что множество N(f) должно быть измеримым. Отсюда, если Е — измеримое подмножество

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290


Математика