Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Халмош П.Р. Теория меры
 
djvu / html
 

70 ГЛАВА III. ПРОДОЛЖЕНИЯ МЕР
I. Класс борелевских множеств совпадает с а-кольцом, порожденным классом С всех замкнутых множеств, и для любого множества Е
2. Для всякого измеримого в смысле Лебега множества Е существуют борелевские множества А и В, такие, что
А с. Ее. В и [А (в — Л) = 0;
при этом А есть множество F,,, а В — множество G§.
3. Всякое ограниченное множество имеет конечную внешнюю меру. Верно ли обратное утверждение?
4. Пусть М — множество рациональных чисел, заключенных в замкнутом единичном интервале X. Точки множества М каким-то образом занумерованы: М = {хь Хъ ...}. Для любого е>0 и для / = 1,2,... пусть Ff(e)
означает открытый интервал длины -^- с центром в точке х{, положим
00 СО
F(e)= U FJ (е), F= П J i=l w=l
Справедливы следующие утверждения:
а) Можно указать е>0 и точку х из X таким образом, что
б) Г (е) — открытое множество и ^ (^(е)) в) Множество X — .F(e) нигде не плотно.
г) Множество X — F первой категории, и, следовательно, F несчетно, так как X представляет собой полное метрическое пространство (отсюда, в частности, следует, что F =? М).
д) Мера множества F равна нулю.
Так как F^>M, то из утверждения „д" вытекает, что М (как и всякое счетное множество) имеет меру нуль. Более интересно то, что обнаружено существование несчетного множества меры нуль (см. упр. 5).
5. Представим число х из замкнутого единичного интервала бесконечной троичной дробью:
X =
пусть С — множество тех х, в представлении которых такими дробями можно обойтись без цифры 1. (Заметим, что если вместо ^.~о^- писать, по анало-
гии с десятичными дробями, O^ag . . ., то, например, - = 0,100. . . = 0,222. . .;
поэтому ~ъ ? С. В то же время -^ = 0,1 1 1 . . . , и представить -^ иначе в троич-
ной системе невозможно, следовательно, -у ([C.J Возьмем последователь-
/ 1 2\ ность открытых интервалов: АГ1 = (-^-, —J — „средняя треть" замкнутого
„ „ /1 2\ __ (1 8\ отрезка X; Х2 = ( -g- , -g- 1 , X3 = ^, ^—„средние трети" двух отрезков,
соединение которых есть X — Х^у Х4, Х& Х& Х^ — ^средние трети" четырех отрезков, образующих X — (Х^\]Х^\]Х^ , и т. д. Тогда справедливы следующие утверждеция;

 

1 10 20 30 40 50 60 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290


Математика