Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Халмош П.Р. Теория меры
 
djvu / html
 

60 ГЛАВА III. ПРОДОЛЖЕНИЯ МЕР
Теорема 2. Если \ъ — мера на некотором Q-колъце S, то класс S всех множеств вида Е Д /V, где Е ? S, a N есть подмножество какого-либо множества меры нуль из S, представляет собой (2-колъцо, и функция [х, определенная на S равенством [х (Е Д N) = [х (?), ??/ш> полная мера на S.
Мера [г, таким образом определенная, называется пополнением меры JJL.
Доказательство. Пусть E?S и Л/'сЛ^З, где |х(Л) = 0; тогда соотношения
Е U ЛГ = (Е — А) А [Л П (Е U ЛГ)]
показывают, что S можно охарактеризовать как класс множеств вида E[]N, где ??S, а Л/" — подмножество некоторого множества меры нуль из S. Отсюда следует, что класс S, который, очевидно, замкнут относительно образования симметрических разностей, замкнут также относительно образования счетных соединений, следовательно, S представляет собой о-кольцо. Если
где
Et?S, ЛГ<с=Д,€8, |*(Д«) = 0, / = 1, 2, то
?i А ?2 =
и, следовательно, JJL (Ej А ?2) = 0. Отсюда ^(^i) = [A(^2)> и мы видим, что равенства
действительно определяют jx однозначно. Пользуясь представлением множеств, входящих в S в виде Е U Af, нетрудно проверить, что JJL есть мера. Так как S содержит все подмножества всевозможных множеств меры нуль из S, то мера [х полная, -х-
Следующая теорема устанавливает связь между пополнением заданной меры и тем продолжением ее, которое строится посредством внешней меры.
Теорема 3. Пусть JJL — <з-конечная мера, заданная на некотором кольце R, и [х* — индуцированная ею внешняя мера. Тогда пополнение расширения меры jx, заданного на S(R), совпадает с [х* на всех [х* -измеримых множествах.
Доказательство. Пусть S* — класс всех |л*-измеримых множеств, a S — область определения пополнения у* меры JJL. Так как JJL* представляет собой полную меру на*8*, то S содержится в S*, и на S мера 1* совпадает с ц*. Мы пркажем теперь, что S* содержится

 

1 10 20 30 40 50 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290


Математика