Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Халмош П.Р. Теория меры
 
djvu / html
 

So ГЛАВА п. МЕРЫ и ВНЕШНИЕ МЕРЫ
Так как ?' П F' = (Е U /О'» то подстановка (5) в (4) дает
р* (Л) = р* (Л П (? U /0) + |t* (Л П (? U /00. (6)
откуда следует, что ZJU/^S.
Подобным же образом, заменив Л в равенстве (4) множеством Л f\(E — /0' = 4 П (?' U /Оэ мы получим
р* (Л П (? — /00 = Р* (А П ? П /0 +
+ Р* (Л П?' П /0 + 1** О* П ?' П О- (7)
Но EfiF' = Е — F, поэтому подстановка (7) в (4) дает
р* (Л) = ,1* (Л П (?— /0) + !** (А П (? — /00. (8)
а это означает, что ? — F^S. Так как пустое множество, очевидно, {А*-измеримо, то S есть кольцо. •*
Прежде чем перейти к изучению более глубоких свойств [^-измеримых множеств, полезно привести следующее простое, но полезное замечание: если на наследственном о-кольце Н задана внешняя мера ji* и если множество Е из Н таково, что для всякого Л из Н выполняется неравенство
то множество Е [1*-измеримо. Для доказательства достаточно вспомнить, что обратное неравенство JJL* (Л) ^ JA* (Л П Е) -\- JA* (Л П Е') прямо следует из полуаддитивности внешней меры.
Теорема 2. Если JA* — внешняя мера на наследственном а-кольце Н, то класс S всех ^-измеримых множеств есть <з-колъцо. Если А ?Н, \Еп\ — последовательность непересекающихся множеств
сю
из S и Е = U ?п, то
Доказательство. Взяв в (5) Е1 и Е% соответственно вместо Е и F, получим
Методом индукции доказывается равенство
для любого целого положительного п. Если мы положим
п

 

1 10 20 30 40 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290


Математика