Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Халмош П.Р. Теория меры
 
djvu / html
 

270 ГЛАВА XII. МЕРА И ТОПОЛОГИЯ В ГРУППАХ
происходит с мерой множеств при таком отображении? Ответ на этот вопрос дает
Теорема 3. Если ^ = [Атг~1, то \ь является мерой Хаара в X.
Доказательство. Так как прообразы (при отображении iu) компактных множеств и непустых открытых множеств соответственно компактны и открыты, та JJL конечна на компактных множествах и положительна на непустых открытых борелевских множествах. Остается доказать, что мера JA инвариантна слева.
Пусть Е — какое-нибудь борелевское множество в X и XQ — такой элемент из X, что тг(л:0) = лг0. Если x?xQn~l (?), то, так как тг является гомоморфизмом, тг(х)?л:0Е и
Обратно, если дг^тг-1 (лг0?), то K(X)?XQE и >к(х~1х)= Отсюда следует, что х~1х?п-1(Ё) и, следовательно, Таким образом, мы показали, что
отсюда
- * Теорема 4. Если f ?jg>+(X) и если
то g?J2?+(X), и существует (единственная) функция g из JS такая, что g- = g-Tr.
Доказательство. Если /вОО=/(#у), то, в силу непрерывности /, функция /а, непрерывна и, следовательно, интегрируема на Y. Функция / равномерно непрерывна, т. е. для всякого положительного числа е существует окрестность U единичного элемента, такая, что |/(^) — /(*2)|<8 для любых двух элементов xl и дга, удовлетворяющих условию х^х~* ^ U. При хгх~1 ^ U имеем
откуда
итак, функция g непрерывна. Очевидно, что она неотрицательна; далее, так как {* \ %(х)фЪ}<^.{х : }(х)фЪ}-У, то

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 290


Математика