Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Халмош П.Р. Теория меры
 
djvu / html
 

ГЛАВА XII. МЕРА И ТОПОЛОГИЯ В ГРУППАХ
3. Для любого борелевского множества Е конечной меры существует окрестность U единичного элемента е, такая, что U аЕЕ"1.
4. Группа X сепарабельна тогда и только тогда, когда метрическое пространство ее измеримых подмножеств конечной меры сепарабельно.
5. Если для произвольного ограниченного борелевского множества Е положить
где U — любая ограниченная окрестность единичного элемента е, а лг~ произвольная точка, то, когда U -» е, fn сходится в среднем (и, следовательно, по мере) к %Е. Другими словами, для всякого положительного числа е существует ограниченная окрестность V единичного элемента, такая, что если U CZ V, то Г \fjj- J.E I ^< е* Этот результат можно назвать теоремой
о точках плотности в топологических группах. [Указание. Возьмем в качестве V такую окрестность единичного элемента, чтобы при любом
выборе точки у из V выполнялось неравенство р (уЕ,?)<-^-. Тогда если U d V и F — любое борелевское множество, то е . 1
/
(Напоминаем, что ;р^ = ;p { , каковы бы ни были борелевские мно-
(1 (jtS) {Д. (ВХ)
жества А и В и точка л: из А; см. упр. 5 § 60.) Теперь остается воспользоваться полученным неравенством, взяв в качестве F сначала множество {x'-fuW— *Е W>0}, а затем — множество {x:fu(x) — x?W<0}.]
6. Если v — любая конечная обобщенная мера, заданная на бэровских множествах в X, то существует такое бэровское множество Afv, что v (Е) = = v(Ef]Nv), каково бы ни было бэровское множество Е (см. упр. 3 §17). Сверткой двух конечных обобщенных мер X и v называется функция X*v, заданная на бэровских множествах Е равенством
= Г
В том случае, когда X и v являются неопределенными интегралами (относительно меры Хаара (А) интегрируемых функций / и ?, их свертка X*v также представляет собой неопределенный интеграл функции /г, где
7. Если X и v — конечные обобщенные меры, то (X *V)(?)= J ^(x-
Если группа X — абелева, то X*v =

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 280 290


Математика