Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Халмош П.Р. Теория меры
 
djvu / html
 

230 ГЛАВА XL МЕРА ХААРА
Если X — локально компактная группа, S — класс всех бэровских( множеств в X и ц — мера Хаара, то (X, S, JJL) представляет собой'1 измеримую группу; это вытекает из того, что 5 есть гомеоморфизм (следовательно, 5 преобразует бэровские множества в бэровские множества), а класс всех бэровских множеств в Х^Х совпадает с SXS (в силу теоремы 5 § 51). Дальнейшее исследование измеримых групп имеет своей целью выяснение того, какие сведения о топологической группе можно извлечь, изучая ее лишь с точки зрения теории меры.
Если X — любое измеримое пространство (в частности, если X — любая измеримая группа), то взаимно-однозначное отображение /? произведения X X X самого на себя, определенное равенством R(xt у)= = (у, х), преобразует измеримые множества в измеримые; чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что если Е — измеримый прямоугольник, то R(E) и R~l(E) (== R(E)) также являются измеримыми прямоугольниками. Так как произведение двух отображений, переводящих измеримые множества в измеримые, обладает тем же свойством, то в нашем распоряжении оказывается значительный запас таких отображений — именно всевозможные произведения степеней 5 и /?. Помимо преобразования 5 мы часто будем пользоваться еще его „отражением" 7=/?~15/?; заметим, что 7*(лг, у) = (ух, у).
До конца этого параграфа мы будем предполагать, что (X, S, jx) и (X) S, v) — измеримые группы, JJL и v — меры (вообще говоря, различные), /?, 5 и Т — отображения, описанные в предыдущих абзацах.
Теорема 1. Если Е — любое множество в ХУ(Х, то
для любых х и у из X.
Доказательство. Утверждение, касающееся 5, следует из равенства
а также из того факта, что y^(S(E))x тогда и только тогда, когда %S(E) (*> У) — * > и х~~ 1У € Ех тогда и только тогда, когда %Е (х, хг 1у)*=* 1 . Утверждение, относящееся к 7, доказывается подобным же образом. *
Теорема 2. Отображения S и Т преобразуют (Ху^Х, S X S, jj, X v) само на себя с сохранением меры.
Доказательство. Пусть Е — измеримое множество в X X X. Тогда, согласно теореме Фубини и теореме 1,
таким образом, 5 сохраняет меру. Соответствующее свойство отображения Т устанавливается подобным же образом с помощью сечений (Т(Е)?, *

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 270 280 290


Математика