Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Халмош П.Р. Теория меры
 
djvu / html
 

230 ГЛАВА X. ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
В заключение этого параграфа приведем еще одну теорему, которая нам понадобится позднее.
Теорема 6. Предположим, что Т — гомеоморфизм пространства X самого на себя и \ — некоторый объем. Для произвольного С из С положим Х(С) = Х(Г(С)). Если \ь и JJL — борелевские меры, индуцированные соответственно объемами X и X, то ^ (Е) = = p(T(EJ) для любого борелевского множества Е. Если, в частности^ объем X инвариантен относительно Г, то инвариантна и р.
Доказательство. Пусть Х# и Х# — внутренние объемы, индуцированные соответственно объемами X и X. Если ?/?U, то из соотношений
следует равенство Х# (U) = Х# (Т(Е)). Если ji* и [л* — внешние меры, индуцированные соответственно объемами X и X, то аналогичные соотношения приводят к равенству [JL* (Е) = \ь* (Т(Е)); отсюда следует, что \ь(Е)=?р(Т(Е)) для любого борелевского множества Е. Последнее утверждение теоремы вытекает непосредственно из предыдущих. *
1. Здесь приведены примеры неотрицательных конечных функций множества, каждая из которых определена на всех компактных множествах какого-либо локально компактного хаусдорфова пространства. Из них одни представляют собой объемы, другие нарушают какое-нибудь одно из условий (монотонность, аддитивность и полуаддитивность), определяющих объем:
а) ^ — компактное пространство, полученное из некоторого бесконечного дискретного пространства X путем присоединения к X одной точки **; функция X задана на компактных множествах С в X* следующим образом: X (С) = 0, если С конечно, и X (С) = 1, если С бесконечно.
б) X — дискретное пространство, состоящее из конечного числа точек; X (С) = 1 для любого компактного множества С.
в) X — замкнутый интервал [— 1, +1]; X (С) = 1 или 0, в зависимости от того 0 ? СО или 0 ? СО.
г)Х* = {Х, л;*} — то же пространство, что в примере „а"; Х(С)=1 или 0, в зависимости от того, содержит С точку ** или нет.
д) А" =•!(), it — :п = 1, 2, ...\. Если С содержит бесконечно много
отрицательных чисел, то X (С) =^; в противном случае X (С) = 1 или О в зависимости от того, 0 ? С или 0 ? С.
е) В X определена борелевская мера ^о» для любого С из С мы полагаем
X (С) = sup fro (C0) : Со С0 ^ С0}.
ж) В Л' определена борелевская мера р.; X (С) = ^ (С°) для любого С из С,

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 250 260 270 280 290


Математика