Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Халмош П.Р. Теория меры
 
djvu / html
 

200 ГЛАВА IX. ВЕРОЯТНОСТЬ
3. Условие теоремы 4, касающееся дисперсий, ослабить нельзя. В самом деле, какова бы ни была последовательность неотрицательных чисел {^},
оо 2
такая, что jV -—=00, существует последовательность независимых функ-
ций {/w}, такая, что 1 /п^ = 0, &(fn) = °п2, п == 1, 2..... и | —
не сходится к нулю почти всюду. [Указание. Функции fn следует строить так, чтобы при <^<;/г2 выполнялись условия
а при о^ > л2 — условия
(л ({x:fn (х) = ога}) = [* ({лг :/„ (ж) = -*„}) = 1 .
П
Заметим, что если Ит — \ _у^ = О, то Нт — уп = 0, и применим к множе-п п *** п п
ствам {х: \fn(x) \^n} лемму Бореля — Кантелли.]
4. Если {fn} — последовательность независимых функций, удовлетворяющая условиям теоремы 4, то существует эквивалентная ей последовательность {gn} независимых функций, такая, что
n=l
Другими словами, предложение, обратное усиленному закону больших чисел, не справедливо.
5. Справедливо следующее, несколько ослабленное, обращение теоремы 4: если {fn} — последовательность независимых функций, такая, что
* с, л = 1,2,..., где с — некоторая
I /n rf[x = о и почти всюду
п
п
постоянная, и если последовательность | — V^ i сходится к нулю почти всюду, то ^ *=1
каково бы ни было положительное число е. [Указание. Если последователь-
п
ность действительных чисел {уп} такова, что последовательность < — /^Уг \
00 » = 1
сходится к нулю или хотя бы ограничена, то ряд V -^ сходится при любом положительном e.J n=i

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 220 230 240 250 260 270 280 290


Математика