Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Халмош П.Р. Теория меры
 
djvu / html
 

Ш _ ГЛАЁА УШ. ОТОБРАЖЕНИЯ И ФУНКЦИЙ _ _
подмножеств пространства X, то они совпадают на всех борелевских множествах.
в) Если р. — конечная мера, определенная на всех борелевских множествах в метрическом пространстве X, a U — класс открытых множеств пространства X, то \ъ(Е) = Inf {{л (U) :Ed U ?\J} для любого борелевского множества Е. (Указание. Функция множества v*, определенная равенством v* (Е) = inf {ц (U) : Ed U ? U}, является конечной метрической внешней мерой; она определяет меру v на всех борелевских множествах, и v совпадает с {л на U.)
г) Если ц — мера на всех борелевских множествах в метрическом пространстве X, а С — класс замкнутых множеств пространства X, имеющих конечную меру, то (х (Е) = sup {JJL (С) : Е гэ С ? С} для любого борелевского множества Е оконечной меры. [Указание. Достаточно рассмотреть множества Е конечной меры. Положим v (F) = JJL (Е (] F) и применим „в* к v и Х—Е.]
д) Если р. — мера на всех борелевских множествах в полном сепарабель-ном метрическом пространстве X, а Со — класс компактных множеств в пространстве X, имеющих конечную меру, то ^ (Е) = sup {JJL (С) : Е гэ С ? CQ} для каждого борелевского множества Е а-конечной меры. [Указание. Применить „г" и упр. 10 § 9.]
4. Если v — конечная мера на S и если борелевское множество EQ является для меры v атомом, то в EQ существует такая точка х& что ц. (?Q — {•*()}) = 0. [Указание. Посредством упр. 3 общий случай может быть сведен к случаю замкнутого и ограниченного EQ.]
5. Если v — конечная мера на S, то, для того чтобы/, была непрерывна, необходимо и достаточно, чтобы мера v была неатомической.
6. Большинство результатов этого параграфа остается справедливым для мер и обобщенных мер v, не являющихся конечными; существенно только, чтобы v была конечна на ограниченных интервалах.
7. В связи с упр. 6 и для построения примеров интересно заметить, что существуют с-конечные меры v на S, абсолютно непрерывные относительно fx, для которых v (Е) = оо для каждого интервала Е, имеющего хотя бы одну внутреннюю точку. (Указание. Пусть/ — положительная инте-

грируемая в смысле Лебега функция, такая, что I /2ф = оо для любого
— е
положительного числа е, например f(x) = (е|ж| l/T^T)"1. Если {г\, г2, . . .} — последовательность всех рациональных чисел, то для каждого х положим
оо
мера v, определенная для каждого борелевского множества Е равенством g*dp, обладает требуемыми свойствами. Заметим, что так как
I gd^= 2j~yi I /^K-t TO функция g принимает конечные значения почти
W=al ВСЮДУ [[!].)

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290


Математика