Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Халмош П.Р. Теория меры
 
djvu / html
 

170 ГЛАВА VIII. ОТОБРАЖЕНИЯ И ФУНКЦИИ
найдем такой элемент F% разбиения Р2, что FgtdF1 и и продолжаем так неограниченно.
оо
Если F=f]Fn, то {x(F)>8>0 и, так как F не является
атомом, существует такой элемент FQ, что FQc:F и 0 < jx (F0) < {x(F). Заметим, что элемент F0 либо содержится во всех элементах разбиений Р„, я = 1, 2, ..., либо не пересекается ни с одним из них. Отсюда следует, что если е меньше каждого из чисел \^(F0) и {х (F) — [х (/^о), то ни один элемент из S, являющийся соединением элементов разбиения Рп, не может отстоять от FQ на расстояние, меньшее, чем е. Так как это противоречит плотности последовательности {Рго}, то теорема доказана. *
Теорема 2. Если У — единичный интервал, Т — класс всех борелевских множеств в У, a v — мера Лебега на Т и если {Qro} — такая последовательность разбиений на интервалы максимального элемента У алгебры с мерой (Т, v), что Htn|Qw| = 0,
п то последовательность {Qn} является плотной.
Доказательство. Для каждого положительного числа е существует такое целое положительное я, что | Qn | < 4- • Для произвольного подинтервала Е интервала У обозначим Е1 единственным образом определенный интервал разбиения Qn, содержащий левый конец интервала Е. Если ?"j не содержит правого конца интервала Е, то обозначим ?2 интервал разбиения Qw, примыкающий к Е± справа, и продолжаем так конечное число раз до тех пор, пока не придем к интервалу Ek разбиения Qn, содержащему правый конец интервала Е. Соединение интервалов Е^ ..., Е^ отстоит от Е меньше, чем на е; это доказывает, что любой подинтервал интервала У может быть апроксимирован соединениями элементов из {Qn}. Так как класс всех конечных соединений интервалов является плотным, то теорема доказана. *
Теорема 3. Каждая сепарабельная неатомическая нормированная алгебра с мерой (S, jx) изоморфна алгебре с мерой (Т, v) единичного интервала.
Доказательство. Пусть {Еп} — плотная последовательность в метрическом пространстве $ (jx) алгебры с мерой (S, jx). Для каж-
00
дого п= 1, 2, ... множество элементов вида |) Л<э где Ai при лю-
<=i
бом / = !,..., п равно либо Ег-, либо X—?<э есть разбиение Рго элемента X. Ясно, что последовательность разбиений {Рго} является убывающей; кроме того, эта последовательность — плотная, так как [Еп] плотна в §(р). Из теоремы 1 следует, что lim|Pn| = 0.
п

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290


Математика