Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Халмош П.Р. Теория меры
 
djvu / html
 

160 ГЛАВА VHI. ОТОБРАЖЕНИЯ и ФУНКЦИИ _
определяется соотношением f(x) = g(T(x)). Удобно и естественно писать f = gT.
Теорема 1. Если Т — отображение множества X в множество Y, g — функция на X, а М — произвольное подмножество того пространства, которому принадлежат значения функции g, то
Доказательство. Следующие утверждения эквивалентны между собой:
(а) x0?{x:(gT)(X)?M},
(б) g(T(Xo))?M,
(в) если з/0= Г(лт0), то
(г)
Эквивалентность первого и последнего из этих утверждений и составляет как раз утверждение теоремы. *
Пусть (X, S) и (К, Т) — измеримые пространства, а Т — отображение множества X в множество Y. Как следует определять понятие измеримости отображения Т? Исходя из того частного случая, когда Y есть числовая прямая, мы скажем, что отображение Т измеримо, если прообраз каждого измеримого множества измерим. Мы видим, что это определение не согласуется с тем, которое было установлено ранее для измеримых функций; в силу особой роли числа 0, измеримая функция может не быть измеримым отображением. Эта несогласованность целиком окупается удобством в приложениях; недоразумений всегда можно избежать, если не путать термины «функция» и «отображение». В том важном случае, когда X само принадлежит S, a Y представляет собой числовую прямую, понятия измеримого отображения и измеримой функции совпадают.
Если Т — измеримое отображение пространства (X, S) в пространство (К, Т), то символом Г-1 (Т) мы обозначим класс всех подмножеств множества X, имеющих вид Г"1 (Т7), где /^Т; ясно, что Г-1 (Т) есть о-кольцо, содержащееся в S.
Теорема 2. Если Т — измеримое отображение пространства (X, S) в пространство (К, Т) и если g — измеримая функция* на К, принимающая конечные или бесконечные действительные значения, то функция gT измерима относительно ^-кольца Г"1 (Т).
Доказательство. Из теоремы 1 вытекает, что для каждого борелевского множества М на числовой прямой,
из измеримости отображения Т следует, что

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290


Математика