Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Халмош П.Р. Теория меры
 
djvu / html
 

/40 ГЛАВА VII. ПРОИЗВЕДЕНИЯ ПРОСТРАНСТВ
множеств в декартовом произведении двух измеримых пространств представляет собой о-кольцо, порожденное классом всех измеримых прямоугольников.
1. Пересечение любого счетного класса (измеримых) прямоугольников представляет собой (измеримый) прямоугольник. Можно ли в этом предложении опустить слово „счетный"?
2. В случае пустых прямоугольников условия теорем 2, 3 и 4 перестают быть необходимыми.
3. В предположениях теоремы 5, класс Р всех множеств вида А X #» где A?S и В?Т, представляет собой полукольцо. Верно ли это утверждение, если относительно S и Т предполагать только, что они — полукольца?
4. Если кольца S и Т содержат хотя бы по два различных непустых множества, то класс Р (см. упр. 3) не является кольцом.
5. Для того чтобы S X Т было с-алгеброй, необходимо и достаточно, чтобы и S и Т были а-алгебрами.
6. Если (X, S) и (К, Т) —измеримые пространства, то всякое измеримое множество в X X Y содержится в некотором измеримом прямоугольнике. (Указание. Класс всех тех множеств, каждое из которых может быть покрыто некоторым измеримым прямоугольником, представляет собой с-кольцо.)
§ 34. СЕЧЕНИЯ
Пусть (X, S) и (Yy Т) — измеримые пространства, а (XX Y, S X Т)— их декартово произведение. Если Е— какое-нибудь множество в Xy Если/—произвольная функция, заданная на некотором множестве Е в произведении .АГХ X, и х — какая-нибудь точка из Х> то функцию Д., определенную на сечении Ех равенством
/.СО =/(*..?).
мы назовем сечением функции /, или, точнее, Х-сечением функции /, или, еще точнее, сечением функции/, определяемым точкой х. Подобным же образом Y-сечение функции /, определяемое точкой у из К, есть функция /^, заданная на сечении Еу равенством fy (лг)=/(дг, у).
Теорема 1. Любое сечение измеримого множества есть измеримое множество.
Доказательство. Пусть Е — класс всех множеств в XX Y, обладающих тем свойством, что все их сечения измеримы. Е является,

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290


Математика