Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Халмош П.Р. Теория меры
 
djvu / html
 

ГЛАВА VI. ОБЩИЕ ФУНКЦИЙ
Если бы v0 не обращалась в нуль тождественно, то, в силу теоремы 1, можно было бы указать положительное число е и измеримое множество Л, такие, что [х (А) > 0 и
— J
для любого измеримого множества Е. Тогда, положив мы получили бы для любого измеримого Е
Е Е-А
. Но
то противоречит выбору функции /. *
1. Если (X, S, [А) — пространство с мерой и v (?) = / измеримого множества Е, то
представляет собой разложение в смысле Хана по отношению к v.
2. а) Предположим, что (X, S) — измеримое пространство, а р и v — вполне
конечные меры на S, причем v <^ [А. Если jx = jx + v и v(?)= Г fdp для
любого Е из S, то 0 б) Если j gdv~ I fg dp для любой неотрицательной измеримой функ-
ции g, то v (Е) = I 1 rfjx, каково бы ни было измеримое множество Е.
я f (Указание. Записав сделанное предположение в виде I g*(l — /) rfv =
/У.Е fgdp, положим, для заданного Et g *= . _ •)
8. Пусть (X, S, {А) — единичный интервал с лебеговской мерой и М — какое-нибудь его неизмеримое подмножество. Пусть, далее, (ctj, pt) и (а2» р2) — Две пары положительных чисел, таких, что с^ + fa = а2+ р2 = 1 и jx<, /= 1, 2, — продолжения меры JA, заданные с помощью с^ и рг-, как это указано в упр. 2 „е" § 16, на а-кольце S, порожденном классом S и множеством М. Тогда существуют такие измеримые функции Д и /2, что
для любого измеримого множества Е. Как строятся функции /j и /2?
4* Теорема Радона — Никодима справедлива в том случае, когда р представляет собой обобщенную меру. (Указание. Пусть Х= A \JB — разложение в смысле Хана по отношению к JA; применить теорему Радона — Никодима отдельно к v и (х+ на множестве А и к v и ц- на множестве В.)

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290


Математика