Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Халмош П.Р. Теория меры
 
djvu / html
 

120 ГЛАВА VI. ОБЩИЕ ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВА
Доказательство. Имеем равенство
Если в его правой части бесконечно только одно слагаемое, то бесконечно и [А (Т7). Если оба слагаемых справа бесконечны, то либо \i(F—Е) = [JL(Е) = оо, либо p(F—Е) = \ь(Е) =— оо, так как, согласно определению, обобщенная мера не может принимать на S и значение оо, и значение —оо; но тогда соответственно рь(/7) = оо или [А (У7) —— оо. Таким образом, значение \i(F) конечно только в том случае, когда оба слагаемых в правой части последнего равенства конечны, а это означает, что всякое измеримое подмножество множества конечной обобщенной меры имеет конечную обобщенную меру. *
Теорема 2. Если \ь — обобщенная мера и [Еп] — последовательность непересекающихся измеримых множеств, такая, что
00 00
[х ((J ?"n) I < оо, то ряд 2 У* (^п) сходится абсолютно.
п=1 и=1
Доказательство. Положим
Ея, если ,*(?„)> О, О, если fi,(?n)< О,
Еп, если О, если Тогда
Л=1 И=1
п=1
В правых частях последних двух равенств стоят ряды соответственно с положительными и отрицательными членами, и так как для [х по крайней мере одно из значений оо и — оо исключено, то хотя бы один из этий рядов сходится. В то же время сумма этих рядов пред-
ставляет собой сходящийся ряд 2^ ^ (Еп)} поэтому в действительности
00 00
сходятся, как 2 р(Еп)г так и 2 {*•(?*»)• Сходимость каждого из
П=1 П«1

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290


Математика