Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Халмош П.Р. Теория меры
 
djvu / html
 

JOO ГЛАВА V. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Пусть / и g— интегрируемые функции. Определим расстояние Р (/» g) между / и g посредством равенства
Функция р оправдывает название „расстояние" во всех отношениях, за исключением одного. В самом деле, верны и тривиальны следующие свойства:
Однако сходство с расстоянием нарушает следующее свойство р: из р(У, g) = 0 не следует, что f = g. Расстояние между двумя интегрируемыми функциями равно нулю и тогда, когда функции совпадают почти всюду. В следующем параграфе мы ознакомимся с этим явлением ближе.
1. Если одна из двух простых функций интегрируема, то интегрируемо и их произведение.
2. Если Е и F — измеримые множества конечной меры, то р (IE, if) = = \L (Е Д/0 (см. упр. 4 § 9 и упр. 7 § 22).
3. Пусть (X, S, [А) — замкнутый единичный интервал с определенной на нем лебеговской мерой. Фиксируем какую-нибудь точку лг0 в X и полагаем v (Е) = Xjg» (лг0). Обладает ли v свойством абсолютной непрерывности?
4. Если v — абсолютно непрерывная функция множества, заданная на всевозможных измеримых множествах в некотором пространстве с мерой (X, S, (А), то v (Е) = 0, каково бы ни было измеримое множество Е, такое, что (л (Е) = 0.
5. Если пространство X с вполне конечной мерой состоит из конечного числа точек, то всякая конечная измеримая функция на X является интегрируемой простой функцией и все свойства интегралов от таких функций сводятся к свойствам конечных сумм.
§ 24. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ИНТЕГРИРУЕМЫХ ПРОСТЫХ ФУНКЦИЙ
В этом параграфе мы продолжаем рассматривать некоторое фиксированное пространство с мерой (Х> S, ji) и снова вместо „простая функция" говорим „функция". Так как все методы, применяемые в этом параграфе (за исключением одного рассуждения в конце доказательства* теоремы 4), основаны только на выводах предыдущего параграфа, то, когда мы обратимся к рассмотрению интегрируемых функций общего вида, как формулировки, так и доказательства следующих ниже теорем сохранятся без изменений.
Последовательность интегрируемых функций \fn] назовем фундаментальной в смысле сходимости в среднем или просто фундаментальной в среднем, если р (/n, fm) -> 0 при /г, т/г->оо.
Теорема 1. Последовательность интегрируемых функций {/п}, фундаментальная в среднем, является фундаментальной по мере.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290


Математика