Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Титчмарш Е.К. Теория дзета-функции Римана
 
djvu / html
 

Гл. I. Функция С (s) и ряды, Дирихле
После этого замечания провести строгое доказательство тождественности выражений (1) и (2) не составит труда. Действительно, перемножая конечное число абсолютно сходящихся рядов, имеем
где nlt п2, ... —целые числа, делящиеся лишь на простые числа, не превосходящие Р. Но все целые числа, меньшие Р, будут таковыми, поэтому [если C(s) определена равенством (1)]
I
Г '
I
'
При jP — »оо (а > 1) правая часть стремится к нулю, что и доказывает справедливость выражения (2).
Это основное тождество было найдено Эйлером и известно под названием произведения Эйлера. Но Эйлер рассматривал его лишь для частных значений s. Как аналитическую функцию комплексного переменного C(s) впервые начал изучать Риман.
Если каждый множитель сходящегося бесконечного произведения отличен от нуля, то и произведение не равно нулю, поэтому мы можем заключить, что С (s) не имеет нулей в полуплоскости з>1. Это может быть доказано непосредственно. Действительно, при а > 1
где mlt те2, . . . —целые числа, имеющие простые делители только большие Р. Поэтому

(P+2
если Р достаточно велико. Следовательно, |C(s)| > 0.
Значение C(s) для вопросов распределения простых чисел объясняется тем, что она имеет два представления, одно из которых содержит исключительно простые числа, а другое их не содержит. В теории простых чисел большую роль играет функция я (х) — число простых чисел, не превосходящих х. Можно преобразо-

 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400


Математика