Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Титчмарш Е.К. Теория дзета-функции Римана
 
djvu / html
 

50 Гл. III. Поведуние ? (s) вблизи прямой а = 1 ц асимптотический закон ИЛИ
Следовательно, если C(s) имеет нули на прямой о=1, то они могут ^быть только простыми. Но для того чтобы доказать, что на этой прямой нет дааде простых нулей, приходится прибегать к гораздо более точным рассуждениям.
То, что С (s) не имеет нулей на прямой о = 1, доказали в 1896 г. независимо друг от друга Адамар и Валле-Пуссен. Их методы по существу аналогичны. Изложение этих методов и является основным содержанием настоящей главы. Главной целью, к которой стремились оба математика, было доказательство асимптотического закона распределения простых чисел, т. е. того, что при а; «—-со
у*
ТС (X) ~ -г— . v ' In a;
Этот закон был ранее подмечен эмпирически. Из теоремы Адамара — Валле-Пуссена асимптотический закон получается без труда с помощью методов теории функций комплексного переменного. Однако полученное таким образом доказательство асимптотического закона отнюдь не является элементарным. Элементарное (т. е. не опирающееся на теорию С (s) и вообще на теорию функций комплексного переменного) доказательство асимптотиче ского закона было получено недавно Зельборгом и Эрдёшем. Так как асимптотический закон эквивалентен теореме Адамара — Валле-Пуссена, то метод Зельберга — Эрдёша дает новое ее доказательство. Однако метод Зельберга — Эрдёша приводит к не столь хорошим ^оценкам, как метод Адамара — Валле-Пуссена, так что последний представляет для нас больший интерес.
2. Отсутствие нулей функции ? (s) на прямой а = 1 . Доказательство Адамара. Прием Адамара состоит, грубо говоря, в следующем. Для а > 1 справедливо равенство
р m=l
где / (s) регулярна при а > i/2. Так как С (s) имеет простой полюс в точке s=l, то отсюда следует, в частности, что при о -> 1 (а > 1)
р

 

1 10 20 30 40 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400


Математика