Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Титчмарш Е.К. Теория дзета-функции Римана
 
djvu / html
 

Гл. 22. Свойства С (я) и ее функциональное
нулей с показателем сходимости, равным 1/2. Следовательно, S (z) имеет бесконечное множество нулей с показателем сходимости, равным 1 . То же самое утверждение справедливо и по отношению к \ (s). Обозначим последовательность нулей ? (s), через р„ р2, ...
Мы уже видели, что С (s) не имеет нулей при о > 1 . Из функционального уравнения следует, что С (s) не имеет при с <Г О других нулей, кроме s= —2, — 4, ... Действительно, при о < О функция C(l— s) не имеет нулей, Г(1 — s) не имеет нулей, a sm Y имеет в точках —2, — 4, ... простые нули.
Нули С (s) в точках — 2, — 4, ... называются «тривиальными нулями». Они не являются нулями ? (s), так как в выражении для ?(s) эти нули C(s) погашаются полюсами Г ( у J . Из выражения ? (s) через С (s) следует также, что ? (s) не имеет нулей ни при о> 1, ни при а < 0. Следовательно, ее нули лежат в полосе 0 Мы доказали, что С (s) имеет бесконечное множество нулей Pi» Ра» ••• . расположенных в полосе 0<о<1. Так как
(l-2I-s)C(5) = l~±+A_...>o (0<5<1) (4)
н С (0) ^= 0, то С (5) не имеет нулей на действительной оси между нулем и единицей. Все нули pt, p2t ... комплексны. Вся дальнейшая часть теории дзета-функции тесно связана с вопросом о положении этих нулей. Сейчас мы отметим еще, что они попарно сопряжены, кроме того, в силу функционального уравнения, вместе с р будет нулем и 1 — р, а следовательно, и 1 — р. Отсюда мы видим, что нули С (s) симметричны относительно прямой o = l/t.
Так как ? ($) — целая функция первого порядка и ? (0) = = — С (0) = 1/2, то, по теореме Адамара о разложении целой функции в бесконечное произведение по нулям, будем иметь
где 6,, — постоянная. Таким образом, С (Ч = - -^-, - >; П

 

1 10 20 30 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400


Математика