Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Титчмарш Е.К. Теория дзета-функции Римана
 
djvu / html
 

380 Гл. XIV . Следствия из гипотезы Римана
Другие подобные условия встречаются в проблемах теории простых чисел1).
Условия другого рода указал Рис [1]. Положим
/1=1
Тогда простое применение теории вычетов даст
о+гоо о+гсо
, , , ,f > . - ds = ±- ( Г(,1~') xsds, (s) С (2s) sm та 2те J C(2s) ч>
о — ico
где a/2 < a < 1. Если a больше 1/2, то ясно, что
По гипотезе Римана прямую интегрирования можно заменить прямой a = 1/4 + s [использовав (5) п. 2] и получить оценку
^(x) = 0(x1/i+e). (2)
Наоборот, по формуле обращения Меллина, находим
С (2s)
и
Если оценка (2) справедлива, то этот интеграл сходится равномерно для о>о0>1/4, предоставляемая им функция регулярна в полуплоскости о>1/4и, следовательно, гипотеза Римана верна. Таким образом, оценка (2) является необходимым и достаточным условием справедливости гипотезы Римана. Другое условие подобного типа:
ft=i
нашли Харди и Литтлвуд [2].
Эти условия внешне весьма привлекательны, так как они зависят только от значений C(s) в точках полуплоскости о>1, но в действительности ни одно из них не удалось сколько-нибудь успешно использовать.
Условия, необходимые и достаточные для справедливости римановой гипотезы, встречаются и в теории дробей Фарея. Пусть дроби h/k, 0 < /z < &, (h, k) = 1, k^.N, расположены в порядке возрастания, a rv обозначает v-ю дробь (v= 1,2, ..., Ф|
*) См. Landau E., Vorlesungen tiber Zahlentheorie, Leipzig, 1927, S. 108—156.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 400


Математика