Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Титчмарш Е.К. Теория дзета-функции Римана
 
djvu / html
 

300 _ Гл XI. Распределение значений С (s) _ _
8. Оценка числа корней уравнения In ? (s) = а при а > а0 > 1 ,
|<|<Т. Мы можем теперь доказать следующую теорему.
Теорема 1. Если а = а„ > 1 — прямая, на которой функция InC(s) принимает значения, сколь угодно близкие к данному значению а, то в области а0 — 8<а<а04-8, 0 < Чтобы доказать этот факт, применим тот прием п. 6, при помощи которого мы установили существование решения уравнения lnC(s) = a, и используем полученное нами уточнение теоремы Кронекера. Мы видели, что для того, чтобы уравнение InC(s) — a имело решение в круге \s — a0—it0\ < 28, достаточно, чтобы для некоторого N , соответствующих чисел 617 62, . . . , 6Л и для "'} = ' Из полученного нами уточнения теоремы Кронекера следует, что мера множества значений t0 из интервала (О, Т), для которых эти неравенства выполняются асимптотически, равна (т\12-к)*Т и поэтому больше х/2 (т]/2-п:)Л Т для достаточно больших Т. Следовательно, среди них можно выбрать по меньшей мере 1lB(tll2n)JfT/b чисел t'f,, отличающихся друг от друга не меньше, чем на 48. Если мы опишем вокруг точек а0 + г^ окружности радиусов 28, то они не перекроются и внутри каждой из них найдется хотя бы один нуль InC(s) — а. Это и дает нам искомый результат.
Мы можем доказать также и такую теорему.
Теорема 2. Существуют такие положительные постоянные Кг(а) и Kz(a), что Ма (Т) — число нулей InC(s) — а в области з>1, 0 К1(а)Т<Ма(Т)<Кг(а)Т.
Нижнюю границу дает предыдущая теорема. Верхнюю мы получим из более общего результата: для любого данного Ъ число нулей функции i(s) — b в области о > 1/2 + 8, 0 < t < Т равно О (Т) при Т -»со.
Доказательство по существу то же самое, что и доказательство теоремы 2 п. 15 гл. IX, но функция C(s) заменяется на C(s) — а. Наконец, число нулей функции lnt(s) — а совпадает с числом нулей функции С (s) — ea.
9. Множество значений функции ? (s) на прямой а = ог0,
1/2 < а0 < 1. Обратимся теперь к более трудному вопросу — о свойствах С(«) в критической полосе. Новая трудность заключается в том, что С (s) уже не представляется там абсолютно сходящимся рядом Дирихле. Но с помощью приема, близкого к использован-

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400


Математика