Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Титчмарш Е.К. Теория дзета-функции Римана
 
djvu / html
 

250 Гл. X. Нули на прямой з = 1/2
Die Anzahl der Wurzeln von E t (t) = 0, deren reeller Theil zwischen 0 und Т liegt, ist etwa
T_ T___T_
2я lte~~2^
denn das Integral \ dln-3 (t) positive um den Inbegiiff der Werthe von t er-
streckt, deren imaginare Theil zwischen i/2 und —г/2, und deren reeller Thei1 zwischen 0 und T liegt, ist (bis auf einen Bruchtheil von der Ordnung der Grosse 1/Г) gleich {T In (Г/2я) — Т} i, dieses Integral aber ist gleich der Anzahl der in diesem Gebiet liegenden Wur^eln von H(f) = 0, multiplicirt mit 2m. Man findet nun in der That etwa so viel reelle Wur/eln innerhalb dieser Crenzen, und es ist sehr wahrscheinlich, dass alle Wurzeln reelle sind» 1).
Это утверждение (что все нули 3 (t) действительны) и составляв1 знаменитую гипотезу Римана, не доказанную и по настояще6 время. В мемуаре говорится дальше:
«Hiervon ware allerdings ein strenger Beweis zu wunschen; ich habe indess die Aufsuchug dcsselben nach einigen fluchtigen vergeblichen Ver-suchen vorlauiig bei Seite gelassen, da er fur den nachsten Zweck rneiner Untersuchung [т. е. для получения явной формулы для я (х)] entbehrlich schien» 2).
*) «Эта функция конечна для всех конечных значений t и разлагается в очень быстро сходящийся ряд, расположенный по степеням г2. Так как при значениях s, действительная часть которых больше единицы, lnC(s) =
= —]?]ln(l— /г8) остается конечным и то же справедливо относительно логарифмов других множителей, из которых составляется Е (t), то функция E(t) может обращаться в нуль только в том случае, если мнимая Часть t заключена между г/2 и —г/2. Число корней уравнения 3(г) = 0, действительная часть которых заключена между 0 и Г, приблизительно равно
— 1 Т Т
2л 2п 2п '
ибо интеграл \ dln?(J), взятый в положительном направлении по контуру
той прямоугольной области, внутри которой мнимая часть t меняется от —г/2 до +г/2, а действительная — от 0 до Т, равен (Т1пТ/2п—Т) г (с относительной погрешностью порядка 1/Г); а такой интеграл равен числу лежащих в этой области корней S (t) =0, умноженному на 2то. И в самом деле, в указанных пределах содержится примерно столько действительных корней; представляется весьма вероятным, что и все корни являются действительными».(Бернгард Риман, Сочинения, перевод с немецкого В. Л. Гончарова, М. — Л., 1948, стр. 218 — 219.— Прим. перед.}
2) «Во всяком случае было бы желательно найти строгое доказательство Втого предложения; после нескольких напрасных, не очень настойчивых попыток разыскать таковое, я временно от них отказался, так как для ближайгаей цели моего исследования в этом не представлялось надобности». (Бернгард Риман, Сочинения, перевод с немецкого В. Л. Гончарова, М. —Л., 1948, стр. 219. — Прим. перев.)

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400


Математика