Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Титчмарш Е.К. Теория дзета-функции Римана
 
djvu / html
 

180 Гл. VIII. Q-теоремы
2, Принцип Дирихле.
Теорема. Если даны N действительных чисел аг, а2, . . . , aN, целое число q > 0 и число t0 > 0, то можно найти число t в границах
tu и целые числа xv х2, ..., XN, такие, что
|*я„-*«1<7 (n = l,2,...,N). (2)
Доказательство основано на одном простом соображении, которое ввел и широко использовал Дирихле. В простейшем случае это соображение состоит в том, что если т + 1 точек содержатся в т областях, то найдется по меньшей мере одна область, содержащая две точки.
Рассмотрим ./V-мерный единичный куб с вершиной в начале координат и ребрами, параллельными координатным осям. Разделим каждое ребро на q равных частей, а куб — на qN равных кубиков. Рассмотрим в кубе qN + i точек, конгруентных по модулю единица точкам (ualt ...,uari), где и = 0, t0, . .,qNt0. По меньшей мере две из них лежат в одном маленьком кубике. Если эти две точки соответствуют значениям u = ui и м = и2,... то t = uz -м1, очевидно, удовлетворяет требованиям теоремы.
Эта теорема может быть обобщена следующим образом. Допустим, что и может принимать значения 0, t0, 2t0, ..., mqNt(j. Тогда мы имеем mqN -f-1 точек, так что должен найтись хотя бы один кубик, содержащий т + 1 точек. Тогда t = u2 — u1, ..., ит — и1 удовлетворяют требованиям теоремы.
Таким образом, мы установили, что интервал (t0, mqNt0) содержит по меньшей мере т решений системы неравенств (2), причем любые два решения отличаются не меньше, чем на t0, ...
3. Теорема Кронекера.
Теорема. Пусть alt а2, ..., а^ — линейно независимые действительные числа, т. е. не может быть соотношения
в котором коэффициенты^, Х2, ..., \N — целые числа, не все равные нулю. Пусть, далее, blt Ь2, ..., bN -любые действительные числа, a q — данное положительное число. Тогда можно найти число t и целые числа xlt х2, . . . , XN, такие, что
\tan-bn~xn\<± (n = i,2,...,N). (1)
Если все Ьп равны нулю, то утверждение теоремы содержится в теореме Дирихле. В общем случае предположение о линейной независимости чисел ап необходимо. Действительно, если,

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400


Математика