Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Михлин С.Г. Приложения интегральных уравнений к некоторым проблемам механики, математической физики и техники
 
djvu / html
 

160 II. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
Но интеграл слева равен, очевидно, нулю, а второй интеграл справа—удвоенной площади S области D. Отсюда
(о'(а)
и наше утверждение доказано.
Все рассуждения этого пункта основаны на допущении, что интегральное уравнение (13) п. 39 разрешимо. Докажем теперь, что это допущение справедливо, —именно, что указанное уравнение разрешимо, какова бы ни была правая часть.
В конце п. 39 было отмечено, что к уравнению (13) п. 39 применима альтернатива Фредгольма. Нам достаточно поэтому доказать, что соответствующее однородное уравнение имеет единственное решение О (т) == 0.
Положим #(?)з=0. Тогда A'(t)s&Q, и уравнение (13) п. 39 делается однородным. Пусть &0 (т„) — какое-либо его решение.
Отметим, что в третьей задаче (при х= —1) величина
- ,*а\ будет действительной, так как условие (3), очевидно,
выполняется При Д + // =0. По известной нам 90(t) мы найдём соответствующие функции V0(z) и Ф0(г). решающие первую или третью задачу с нулевыми краевыми условиями. Пользуясь теоремой единственности, легко установить, что Решив третью бигармоническую задачу, мы сможем решить и вторую задачу, т. е. задачу теории упругости при заданных внешних силах, действующих на контуре. Как это сделать, мы покажем ниже на примерах.
Сходным образом решаются задачи теории упругости: и в случае бесконечной области. В п. 43 мы на примере покажем, какие изменения претерпевает при этом изложенный выше метод. Здесь мы заметим только, что условие (3) не необходимо, если область D—бесконечная.
41. Случай одкогвязной области. Выясним, как преобразуется интегральное уравнение (13) п. 39 в случае, когда

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300


Математика