Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Михлин С.Г. Приложения интегральных уравнений к некоторым проблемам механики, математической физики и техники
 
djvu / html
 

140 П. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
37. Комплексное представление бигармоничеекой функции. Всякая бигармоническая функция W(x, у) (т. е. интеграл бигармонического уравнения) может быть выражена через две аналитические функции комплексной переменной z=x + iy. Это можно сделать следующим образом. ' Функция Р (x,y)=kW — гармоническая, так как ДР = = Д»1Г=0. Пусть Q(x,y)—сопряжённая с Р(х,у) функция. Обозначим Р + iQ = 4<{>' (г). Функция
<Р {*)=Р (*, У) + Ч (*,У)=\
есть аналитическая функция от z. Легко проверить простым вычислением, что ^(W—px—qy') — ®, т. е. что функция PI (х, у) = W—px—qy гармоническая. Полагая /?4 (х,у) = = Re(l(z)} и замечая, что px + qy=Re { z ^(*,У)=Ке{г«Р(г)Н-1(г)}. (1)
Функции По заданной функции W(x,y) функции Гурса определяются не вполне однозначно. Именно, <р''(г) определяется с точностью до чисто мнимого постоянного слагаемого, и, следовательно, <р (z) определяется с точностью до слагаемого вида i«.z+$, где а—действительная, а р—комплексная постоянная. Функция ty(z) также определяется не вполне точно, но это для дальнейшего менее существенно.
Из формулы Гурса легко получаются две важные формулы, в окончательном виде установленные акад. Н. И. Мусхелишвили. Первая из них даёт выражение производных бигармонической функции через функции Гурса:
где
Ф(*)=хЧ«). (з)

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300


Математика