Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Маркушевич А.И. Очерки по истории теории аналитических функций
 
djvu / html
 

90 ОЧЕРК ТРЕТИЙ [3.2
функции, сохраняющие свои значения при любом движении, при-надлежашем некоторой группе Г движений в плоскости Лобачевского, называются фуксовыми функциями *); их можно рассматривать по аналогии с периодическими и, в частности, двоякопериоди-ческими функциями. Периодические функции сохраняют свои значения при любом сдвиге, принадлежащем некоторой группе сдвигов евклидовой плоскости (эта группа имеет вид: z' = z -\- пш, п = О rt 1, rr 2, ... для просто периодических функций или z' = z + /лиц -f-+ ttu>2, т = О, ± 1, + 2, ..., п = 0, rt 1, + 2, ... для двоякопериоди-ческих функций). Подобно тому как для периодических (двояко-периодических) функций евклидова плоскость может быть разбита на полосы или параллелограммы периодов, перемещаемые друг в друга посредством сдвигов рассматриваемой группы, так и для фуксовых функций, соответствующих однозначным аналитическим функциям на римановой поверхности S, плоскость Лобачевского может быть разбита на так называемые фундаментальные области, ограниченные прямыми Лобачевского или отрезками таких прямых и перемещаемые друг в друга посредством движений группы Г. При этом каждая фундаментальная область обладает тем свойством, что никакие две точки её не конгруентны друг с другом относительно группы Г, т. е. не могут быть перемещены одна в другую посредством движений этой группы. Если мы рассматриваем всю плоскость Лобачевского, разбитую на классы точек, как «неевклидов кристалл», то каждая из соответствующих фундаментальных областей может рассматриваться как одна из «ячеек» этого кристалла; весь кристалл образуется правильным повторением этих ячеек, посредством движений группы Г. Указанную аналогию между классом функций {Ф (()} и функциями периодическими (в особенности эллиптическими) можно проследить и далее, она позволяет строить теорию функций, аналитических на римановой поверхности 5. Впрочем, эта теория не обладает ещё такой полнотой и законченностью, как например, теория эллиптических функций.
Замечая, что как группы движений в плоскости Лобачевского, так и группа сдвигов в евклидовой плоскости являются специальными группами дробно-линейных отображений, мы приходим к общему понятию автоморфных функций. Пусть Г — какая-либо группа дробно-линеИных преобразований, обладающая тем свойством, что некоторая область D плоскости переходит сама в себя в результате каждого преобразования, принадлежащего Г, причём
*) Так их назвал А. Пуанкаре по имени немецкого математика Л. Фукса, привлекшего в семидесятых годах XIX века внимание французских математиков к функциям этого рода. Фактически простейшая из рассматриваемых функций, а именно модулярная, встречается ещё в работах Гаусса (не были в своё время опубликованы), Якоби и Римана. Заметим, что модулярная функция изучалась названными учёными в полуплоскости, а не в единичном круге. Впрочем, это различие не имеет принципиального значения, так как полуплоскость служит для изображения .плоскости.Лобачевского так же хорошо, как и единичный круг.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 110 120


Математика