Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Маркушевич А.И. Очерки по истории теории аналитических функций
 
djvu / html
 

100 ОЧЕРК ЧЕТВЁРТЫЙ [4.2
равномерно сходящееся внутри области G и, кроме того, такое, что
цга
n-»oo J О
М. В. Келдыш и М. А. Лаврентьев построили примеры областей, ограниченных спрямляемыми кривыми, для которых условие В. И. Смирнова не выполняется. В этих областях существуют функции f(z) класса Е3 (например, ]/<р' (г), где w = <р (г) конформно отображает область G на единичный круг), к которым соответствующее разложение в ряд по ортогональным многочленам не сходится (оно сходится к функциям, отличным от /С?))-
Вместо приближения в среднем на контуре области можно рассматривать приближение в среднем, оцениваемое по площади области; тогда получаем теорему, установленную автором этих очерков и независимо от него американским математиком Фаррелем: Если G — односвязная область, граница которой Совпадает с границей компоненты дополнения к (4.2:1) в
существует последовательность многочленов (тп(г)} такая, что
Urn J Г |/(г) — *п (г) \*dx dy. (4.2 : 2)
П->оо«'0-'
Этот результат непосредственно относится к вопросу о разложении аналитических функций в ряд по системе многочленов {П„(г)|, ортогональной и нормированной на кривой Г, так как в областях указанного типа для любой функции, удовлетворяющей условию (4.2:1), справедливо разложение
со _
/ (*) S «, П, (г), а, = / J /<г) П, (z) dx dy,

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 120


Математика