Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Волковыский Л.И. Квазиконформные отображения
 
djvu / html
 

нако обойтись и меньшей характеристикой, как это видно из следующей теоремы:
Теорама 8. 5*. Если функция склеивания <р(х) непрерывно дифференцируема и ?'(л:) > 0 на сегменте \х < 1, то для любого е > 0 можно построить склеивание прямоугольников х < 1, — А <_>'<() и |л:| < 1, 0 <.у < h, конформное в верхнем прямоугольнике а ^.-квазиконформное класса Ci в нижнем прямоугольнике.
Доказательство. Из теории приближения вещественных функций известно**, что можно подобр'ать последовательность многочленов рп (х) таких, что рп(х) >с?(х) и ра'(х) >„(+!) ~±1- Так как <р '(х) > 0, то для любого г>0 найдется такое N = N(s), что для я > JV выполняется неравенство
17<-<' + ' W
Зафиксируем n>N и положим <Ь(х)=ра (х). Тогда функция
/(z) = отображает прямоугольник \х < 1, — А<_у <0 самого на себя с сохранением вершин. Из (4) следует, что (5) является е-ква-зиконформным отображением класса С{ , которое превращает функцию склеивания о(х] в функцию склеивания fy(x], удовлетворяющую условиям теоремы 8. 4. Производя конформное склеивание, соответствующее ф(лс), получим искомое е-квази-конформное склеивание, соответствующее Рассмотрим еще две задачи на квазиконформные деформации, встречающиеся в приложениях теорем о склеивании.
Задача L Пусть производная э'и) функции склеивания Решение. Выделим из R произвольно малый квадрат Q с основанием ха < х < л, , у = 0 и будем строить отображение R на себя, тождественное вне Q и квазиконформное внутри Q. Пусть ^ = ^(х) функция, соответствующая преобразованию верхнего основания Q. Потребуем, чтобы она кроме
* Эта теорема неявно содержится в работе [1] в одном построении при доказательстве теоремы существования квазиконформных отображений (см. ниже теорему 9.1).
** См., например, Балле Пуссен „Курс анализа бесконечно малых', 1933, ч. II, гл. IV, § 1.
SO

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 110 120 130 140 150


Математика