Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Волковыский Л.И. Квазиконформные отображения
 
djvu / html
 

где
/?0 [м, -v } = ай
So[ti,v]=vx-uy (4)
дифференциальные операторы, называемые сопряженными к Lf\u, 1}} и Мй[и, <о] (см. приложение, 2. 2).
Для дальнейшего нам потребуется фундаментальное решение системы
/?0 [и, гг]=0, S0 [и, г»] = 0. (5)
Главное в понятии фундаментального решения то, что оно имеет особенность, позволяющую после подходящего ее изолирования и применения формулы Грина получить путем предельного перехода интегральное представление для исходной системы *.
С учетом второго уравнения первое из уравнений (5), после деления на |/Л0, где А0=А(г0] и введения характеристик ао = а(2о). Po = P(zo). To = T(2o). принимает вид
а0^ + 2^, + То^==0. (6)
Если решение системы (5) искать в виде u = Ux, v=Uv с неизвестной функцией U—U(x,y), то очевидно S0[tt, v] = О", а уравнение Ru[ii, v}=0, в силу (6), можно записать в таком виде :
Это наводит на мысль ввести еще функцию V, связанную с функцией U уравнениями
^Ux + №у = Vy , %UX + JoUy = - Vx . (8)
Тогда ясно, что функция y(z) = U-\-iV осуществляет квазиконформное отображение области D с постоянными характеристиками <г0, Ро. То- Поэтому, если совершить аффинное преобразование t=lu(z] с указанными характеристиками, то уравнения (8) примут форму уравнений Коши-Римана, и, следовательно, функция ср(г) превратится в аналитическую функцию от t, а функции U, V превратятся в сопряженные гармонические функции. В частности такими сопряженными гармониче-
скими функциями являются функции 1п ттт и — arg t, из которых
первая представляет фундаментальное решение уравнения Лапласа на плоскости t с особенностью в начале координат.
Заметив это и фиксируя точку С = ?-|-гт] 6 Д, введем в Д неевклидову метрику, полагая
9l(z,^ = cu(x-lY~-(bu + du) (*-?) (у -п) + 0^-4)*, (9)
* О фундаментальных решениях см. [17, 18, 19]. 50

 

1 10 20 30 40 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150


Математика