Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Волковыский Л.И. Квазиконформные отображения
 
djvu / html
 

Что эквивалентно (6). Такой способ рассмотрения метрического поведения отображения f(z] в малом оправдан предыдущими рассуждениями для точек дифференцируемости /(г), где якобиан отличен от нуля (см. теорему 2. 1), в частности для А-точек отображения.
§ 3. РАЗЛИЧНЫЕ КЛАССЫ КВАЗИКОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
3. 1. Квазиконформные отображения с одной парой характеристик. Мы скажем, что в области D плоскости г задано непрерывное распределение характеристик р, 6, если р=р(г] > 1 определена и непрерывна всюду в Д а 6 = 6(2), О < В < я определена только _там, где р =f- 1 и непрерывна в любой замкнутой подобласти DI С D, не содержащей точек, где 0=1. Это эквивалентно заданию в D непрерывных функций а(2), [3(2), f(z), удовлетворяющих условиям а, у>0, ау—- J32 = 1 и связанных с/7,6 известными соотношениями (см. I. 1).
Определение 3. 1. Пусть в области D плоскости z задано непрерывное распределение характеристик р, в. Функция f(z) производит квазиконформное отображение области D с характеристиками р, в, если она непрерывна и однолистна в D и, для любой точки z & D преобразует бесконечно малый эллипс Eh(p,% ; г) в бесконечно малый, круг с сохранением направления обхода.
Ниже (§ 9) будет доказана следующая основная теорема, принадлежащая М. А. Лаврентьеву []]:
Какова бы ни была плоская область D и каково бы ни было непрерывное распределение в ней характеристик р, 6, существует квазиконформное отображение области D с этими характеристиками, определенное с точностью до конформного отображения.
Пока отметим лишь следующее. Метрические требования, содержащиеся в требовании квазикснформности отображения, слабее требования его дифференцируемости. Однако, как будет показано в § 4, квазиконформное отображение дифференцируемо почти всюду. В связи с этим и особенно для приложений важна следующая теорема:
Теорема 3. 1. В точках дифференцируемости квазиконформною отображения /(г) = u + iv области D с характеристиками л, р, у функции и, v удовлетворяют системе уравнений
шх + $иу = г>,, рм_( + wy — - vx. (1)
Доказательство. Пусть 20 6 D — точка дифференцируемости/(г). По теореме 2. 5 /'(г0) = 0 и очавидно удов«
20

 

1 10 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150


Математика