Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Волковыский Л.И. Квазиконформные отображения
 
djvu / html
 

некоторую поверхность Ф, реализованную в виде евклидовой области D. Если стать на эту общую точку зрения, то отпадает необходимость заранее иметь поверхность S, может даже оказаться, что в трехмерном евклидовом пространстве такой поверхности и не существует.
В качестве примера достаточно указать на интерпретацию геометрии Лобачевского в единичном круге z|< 1, получаемую с помощью метрической формы (см. [22], гл. III, § 2):
Здесь E — Q, F = 0, поэтому соответствующая угловая метрика определяемая (2), совпадает с евклидовой, роль же прямых (геодезических) играют, как можно показать (см. [22], там же), дуги окружностей, ортогональных к окружности |г)=1. Круг [ z | < 1 с метрикой (3) дает нам пример поверхности {?>, ds2}, не имеющей изометричного эквивалента в евклидовом пространстве, ибо, по одной из теорем Гильберта (см. [23], § 60), в евклидовом пространстве не существует поверхности, изометричной всей плоскости Лобачевского.
Рассмотрим теперь две поверхности [D, ds2}, и {D, dsl], где rfs? другая метрическая форма с коэффициентами El , Fl ,Gl и поставим вопрос о том, когда соответствие, устанавливаемое между ними посредством D (соответствующими друг другу будут те точки этих поверхностей, которые соответствуют одинаковым точкам 2 6 D), будет конформным, то есть в каком случае неевклидовы мероопределения углов, соответствующие ds2 и ds\ в области D, совпадают. Ответ на этот вопрос дает следующая теорема:
Теорема 4. 1. Для совпадения неевклидовых мероопределений, углов, соответствующих, в области D метрическим формам ds2 и ds\, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты этих форм, Е, F, G и El, F^, Gl были, взаимно пропорциональны
?-A-Gi Г4)
Е ~ F ~ а ' w
Доказательство. В силу (2) вопрос идет о том, когда
Е йхЪх -f F [dxty + dybx) + О dyly _ rfsbs ~
_ ?t djAx + FI (dxby + dybx] + O^ dyly .^
7
150

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 151 152 153 154 155


Математика