Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Волковыский Л.И. Квазиконформные отображения
 
djvu / html
 

тельность функций у „(г], <р„ ( г) j < М, непрерывных в круге |z | < 1 и равномерно сходящихся внутри G к <р(г)*- Это позволяет теорему 9. Г формулировать в следующем виде (см. [26]):
Теорема 9. Г. Пусть на открытом множестве G в круге < 1 задано непрерывное равномерно ограниченное распределение характеристик я(з), $(z), f(z]. Тогда существует гомеоморфное отображение круга | z | < 1 на круг w \ < 1, квазиконформное с указанными, характеристиками. на G и равномерно аппроксимируемое в \ z \ < 1 (^-квазиконформными отображениями класса С1.
Доказательство. В самом деле, равномерно аппроксимируем а(г), ^(г), т (г) внутри G равномерно ограниченными и непрерывными в круге г \ < 1 распределениями характеристик я„(г), ?я(г), Tnl z) и поступаем далее так, как при доказательстве теоремы 9. Г.
В данной теореме, в отличие от теоремы 9. Г, указанной там единственности вообще нет. Если же единственность (с точностью до линейного преобразования круга w \ <1 в себя) имеет место, то будем G обозначать через G'e). Отсюда следует:
Теорема 9.3. Пусть {fn(z}, fn(0)=0, /„(!) = 1} (я=1,2,...) последовательность Q-квазиконформных отображений класса С1 круга | z ] < 1 на круг \w\<\ с характеристиками {«„(z), р„(г), у„(г)} равномерно сходящимися к a(z), p(z), f(gj внутри открытого множества G(e^. Тогда последовательность (fn(z}\ сходится равномерно в замкнутом круге |г|<1 и предельная функция f(z} = \imfn(z] осуществляет гомеоморфное отображение круга \ г\ < 1 на круг \ w \ < 1, квазиконформное с характеристиками «(г), |3(г), y(z) внутри G^.
Доказательство. Из {/„(г)} можно выделить равномерно сходящуюся в круге | z | < 1 подпоследовательность {fn.(z)) с предельной функцией/(г), удовлетворяющей по теореме 9. 2 всем требованиям доказываемой теоремы. Допуская от противного, что не вся последовательность {fn(z)} сходится к /(z), мы могли бы выделить из нее другую подпоследовательность с другой предельной функцией, допустим
* Построение ср„ (г) представляем читателю. О продолжении непрерывных функций см. П. С. А л е к с а н д р о в „Введение в общую теорию множеств и функций*, 1948, гл. VI, § 13 и Г. М. Ф и х т е н г о л ь ц „Курс дифференциального и интегрального исчисления", т. 1, 1947, дополнение.
100

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 120 130 140 150


Математика