Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Валле-Пуссен Ш.Ж. Курс анализа бесконечно малых Т.1
 
djvu / html
 

— 70 —
собою совокупность, измеримую (В), и ее мера, в силу теоремы I, совпадает с мерой содержащейся в ней совершенной совокупности.
80. Теорема. Если внешняя мера совокупности Е равна ft, E. содержится в измеримой (В) совокупности Е' , имеющей меру Ь._Если же внутренняя мера Е равна k, то Е «одержит измеримую (В) совокупность Е" меры k.
Эти две теоремы приводятся одна к другой, путем рассматривания дополнительных совокупностей.. Докажем первую из них.
Возьмем последовательность положительных чисел EJ, г,,..., г,,,...; имеющих пределом нуль. Можно заключить совокупность Е в измеримую (В) совокупность Е (е»), составленную из ' взаимно не налегающих промежутков a,, otg,..., при чем так, чтобы выполнялось соотношение •
.ШЕ(?я) =2 .*
Тогда Е также содержится в измеримой (В) совокупности
.. Е (*,)..
и имеем
т Ъ'^ »* Е (ЕЙ)
Так как lime,, = 0, то т Е' -g k; следовательно, тЕ' = k.
ЗАМЕЧАНИЕ. В частности, если совокупность Е измерима и имеет меру k, то она содержится в совокупности Е' и- содержит совокупность Е",' при чем обе совокупности Е' и Е" измеримы (В) и имеют меру k.
81. Предельные совокупности (в широком и в узком смысле). Рассмотрим исчислимую последовательность Совокупностей Е,, Е2,... Вместе с Е. В о г е Ге м назовем предельной совокупностью в широком смысле для- этой последовательности — совокупность Е, составленную из точек, каждая из которых принадлежит бесконечному множеству совокупностей; предельной же совокупностью в узком смысле для той же последовательности назовем совокупность R точек, каждая из которых принадлежит всем совокупностям ЕЯ, начиная с некоторого достаточно большого значения п (которое может оказаться зависящим от рассматриваемой точки).
Предельные совокупности могут, быть выражены с помощью ранее изученных операций. Действительно, имеем
R = (Е, ЕЗ Е,...) + (Е, Е3...) + (Ев..!) + -,
ибо каждая точка R принадлежит всем членам правой части, начиная с некоторого, и обратно-, каждая точка, принадлежащая сумме в правой части» содержится в одной из составляющих эту сумму совокупностей, следовательно и в R.
С другой стороны, имеем также
Е = (Е, + Ег + ЕЗ + ...) (Е, + Е3 + ...) (Е, + ...) .~,
так как каждая точка Е принадлежит всем множителям, указанным в правой части, и обратно, точка, которая принадлежит всем этим множителям, необходимо содержится в бесконечном множестве совокупностей Е„, следовательно, и в Е.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490


Математика