Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Валле-Пуссен Ш.Ж. Курс анализа бесконечно малых Т.1
 
djvu / html
 

— ЙО —
щихся к нулю. Если колебание / в точке р меньше в, можно вокруг р
описать такой кр\г, чтобы колебание / в участке Р, содержащемся в этом круге, было < с. Так как, по предположению, можно найти внутри каждого круга точку р, удовлетворяющую этому условию, то можно построить бесконечную последовательность кругов Q, С2>... С»,..., каждый из которых содержится во всех предыдущих, так чтобы колебание / в участке Р, содержащемся в С», было < гп. Центры этих кругов имеют, по меньшей мере, одну предельную точку р, содержащуюся внутри всех кругов; колебание в эгой точке должно быть меньше всех е«, т. е. равно нулю, так что / непрерывна в этой точке Р. Так как то же рассуждение прилагается к любому участку Р, то теорема доказана.
70. Свойства функций. I. Пусть F замкнутая совокупность; совокупность Е точек F, в которых колебание (относительно F) функции f ^= s, замкнута.
Действительно, если^ есть предел для последовательности точек р±, р2,..., в которых колебание/^se, то р есть точка F, в которой колебание, очевидно, также ^е. Следовательно, эта предельная точка принадлежит совокупности Е.
II. Пусть F ограниченная замкнутая совокупность. Если для данного положительного числа е нельзя найти такого числа S, чтобы колебание функции f в каждой части F, диаметра < 8, было <[ е, то найдется, по крайней мере, одна точка F, в которой колебание (относительно F) функции f будет 5===s-
Действительно, если взять последовательность положительных чисел 8j, 82' • • • > °я, •• •, стремящихся к 0, ей можно поставить в соответствие последовательность участков F диаметров <&!, <82,..., в которых колебание всегда ^s. Пусть pi, р2,... точки Р, взятые последовательно в этих участках; так как F ограничена, то они имеют, по меньшей мере, одну предельную точку р (принадлежащую замкнутой совокупности F). Эта точка лежит внутри сколь угодно малой области, содержащей бесконечное множество последовательных участков F, в которых колебание ^е. Следовательно, и в точке р колебание также ^ е.
71. Непрерывные функции. I. Функция, непрерывная в ограниченной и замкнутой совокупности F, равномерно непрерывна в F.
Это значит, что для каждого положительного числа е существует такое число В, что колебание функции <г в каждом участке F диаметра II. Функция, непрерывная в ограниченной и замкнутой совокупности F, также ограничена.
Это следствие из свойства I.
Возьмем 8 настолько мачым, чтобы колебание функции было <е в каждом участке F диаметра <8, и разложим совокупность F на участки (пусть число их равно и) диаметров <5; тогда колебание функции в F будет <иг.
III. Функция, непрерывная в ограниченной и замкнутой совокупности, достигает своего наибольшего и наименьшего значения в этой совокупности (То же докашеткство, что и в п° '27, III).
72. Односвязные совокупности. Совершённая совокупность называется односвязной, если для взятых по произволу двух точек р и q совокупности,

 

1 10 20 30 40 50 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490


Математика