Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Валле-Пуссен Ш.Ж. Курс анализа бесконечно малых Т.1
 
djvu / html
 

Следующая теерема доказывает, что совокупность вещественных чисел также обладает -плотностью:
I. Между двумя различными числами всегда можно вставить рациональное 'число, а следовательно и бесконечное множество их.
Если оба числа иррациональны, то теорема совпадает с самим определением неравенства. Если одно из чисел иррационально и определяется сечением (А,В), между тем, как другое рационально, последнее принадлежит либо классу А, либо классу В, но не может быть ни наибольшим в А, ни наименьшим в В, так что заключение остается в силе. Наконец, для случая, когда оба числа рациональны, мы предложили теорему известной (п° 1, 2°).
Совокупность вещественных чисел обладает одним свойство», которого не имеет совокупность рациональных чисел; это свойство выражается следующей теоремой:
П. Если по какому-нибудь правилу произведено сечение, (А,В) совокупности вещественных чисел, >п. е. если эти числа разделены на два класса таким образом, что каждое число первого класса <] каждого числа второго, то необходимо существует рациональное или иррациональное пограничное число т, определяющее сечение, так что каждое число, меньшее т, принадлежит, классу А, каждое же число, большее т, принадлежит классу В.
В самой деле, пусть т будет тем рациональным или иррациональным числом, которое служит границей для рациональных чисел, содержащихся, соответственно, в классе Айв классе В. Каждое рациональное число, большее т, принадлежит классу В, а меньшее т —классу А. Остается показать, что это заключение сохраняется и для иррационального числа.
Но это непосредственно очевидно, ибо если иррациональное число больше т, то оно больше бесконечного множества рациональных чисел, больших т и, следовательно, принадлежащих классу В, так что оно a 'fortiori принадлежит классу В; иррациональное же число, меньшее т, меньше бесконечного множества рациональных чисел, меньших т, и вместе с ними содержится в классе А.
Предшествующие исследования не дают еще полного математического определения иррациональных чисел; к ним надлежит присоединить еще определения четырех основных арифметических действий.

 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490


Математика