Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Валле-Пуссен Ш.Ж. Курс анализа бесконечно малых Т.1
 
djvu / html
 

— 470 —
402. Теорема АЬеГя. Если ряд ?а„л-к сходится для положительного вещественного значения'.* = #„ то он сходится равномерно в промежутке (0, хг) и имеет суммой непрерывную функцию от х в этом промежутке.
Остаток Е„ есть не что иное как ряд
Так как данный ряд, по предположению, сходится при x = xlt то для произвольно малого положительного числа е существует такое целое число N, что условие
имеет место при любом /, если только п > N.
С другой стороны, если 0^;^^.rt, последовательность чисел
/ х \" f х Y'-H / х
не возрастает. Следовательно, ряд
; \"+1
. = a:ix''i-an+l;
лу '
I х V* сходится (п° 387) и имеет сумму, модуль которой <6\—/ и п
fortiori Итак, | К„ | <е, каково бы ни было х, так что предложенный ряд сходится равномерно в промежутке (0, xi).
403. О применении предыдущей теоремы. Теоремой АЬёГя чаще всего пользуются для того, чтобы соотношеаия, установленные для точек внутри круга сх >димости, распространить на точки, лежащие на окружности этого круга.
Предположим, что внутри круга
и что функция/(ж) не^ерывна в точке X окружности. Предшествующее равенство тогда будет иметь место и в точке X, если только ряд в этой точке сходится.
Действительно, возьмем вещественную переменную г, меняющуюся между 0 и 1. По предположению,
ДгХ) - I (п„ X") г",

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 490


Математика