Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Валле-Пуссен Ш.Ж. Курс анализа бесконечно малых Т.1
 
djvu / html
 

— 460 —
391. Непрерывность равномерно сходящихся рядов. I. Если члены равномерно-сходящегося ряда являются непрерывными функциями от одной или нескольких переменных в некоторой определенной области, то и сумма ряда будет непрерывной функцией в той же области.
Положим 5 = s,i -f- R» и обозначим через As, As,», ARM приращения этих трех величин, соответствующие данному приращению независимой переменной или данной системе приращений независимых переменных. Тогда
As = As» + ДК« = Д5И + (R» + ДВ» ) — В» .
Покажем, что все три слагаемые, в виде суммы которых представлено As, могуг быть сделаны сколь угодно малыми вместе с приращениями переменных. Действительно, так как сходимость равномерна, то можно взять п настолько большим, чтобы оба остатка | R« | и | R« -f~ ДЕ„ | были меньше произвольно-малого положительного числа е, каковы бы ни были приращения переменных. Далее, выбрав таким образом п, заметим, что s« , как сумма конечного числа непрерывных функций, также является непрерывной функцией. Следовательно, взяв достаточно малыми приращения переменных, можно сделать и ASM | <е. Тогда | As окажется меньшей сколь угодно малого числа 3s, так что функция s непрерывна.
Когда сходимость ряда неравномерна, то непрерывность суммы не вытекает из непрерывности отдельных членов ряда: доказательством этого служит ряд 2 х (1 — х)" , рассмотренный в примере I предыдущего п°. Однако, не исключена возможность и непрерывности суммы неравномерно сходящегося ряда непрерывных функций, что видно из примера II того же п°.
Предложение, обратное доказанному, оказывается верным для положительных рядов:
II. Если ряд непрерывных и положительных функций сходится неравномерно, то сумма ряда будет разрывной в Рассматриваемого области.
Рассмотрим, для определенности, случай одной независимой переменной х, изменяющейся в промежутке (а, Ь), и начнем с предварительного замечания.
Предположим, что промежуток (я, Ь) разложен на две части. Если, при данном е, условие R» <[ е выполняется при одном значении п = п' в одной части и при одном же значении п = п" в другой части, то оно и во всем промежутке выполняется при одном значении п, именно, наибольшем из двух значений п' и и",

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 480 490


Математика