Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Валле-Пуссен Ш.Ж. Курс анализа бесконечно малых Т.1
 
djvu / html
 

— 400 —
ЗАМЕЧАНИЕ II. Можно преобразовать формулу (4) так, чтобы она стала непосредственао приложимой и в случае декартовых координат. Действительно, имеем
г2 й?6 = (х- +jv2) d arc tg — = х dy — ydx.
ОС
Предположим, что х и у выражены в функции переменной t, которая изменяется от ti до ?2> когда точка (х, у) описывает дугу, ограничивающую сектор. Взяв t в качестве переменной интегрирования, можно преобразовать формулу (4) в следующую
(5).
348. Приложения (полярные координаты). — I. Спираль Архимеда'. г=а$. Площадь S от начала до радиуса вектора г равна
6 6а
4 Если положить 0 = 2тг, то получим площадь'— т^а2 фигуры, огра-
О
ничейной одним витком спирали.
II. Логарифмическая спираль', г = ает®. Эта кривая производит бесконечное множество оборотов вокруг начала. Найдем площадь S сектора, ограниченного дугою кривой и двумя радиусами векторами ^ и Е, соответствующими полярным углам 6i и в. Эта площадь равна
-- Г ewtidb = — (е"-т% — • 2 J 4т
4 т 8i
Если заставить 6j стремиться к — со, то г\ будет стремиться
R2 к нулю, a S к ——. Таким образом мы получим предел суммы пло-
47"/1/
щадей фигур, ограниченных бесконечно-растущим числом оборотов, безгранично приближающихся к полюсу.
III. Лемниската'. r2 = acos26. Эта кривая составляется из двух симметричных листов. Площадь сектора, содержащегося между полярной осью и радиусом вектором, наклоненным к ней под углом 0, равна „

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 420 430 440 450 460 470 480 490


Математика