Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Валле-Пуссен Ш.Ж. Курс анализа бесконечно малых Т.1
 
djvu / html
 

— 350 —
("гаю быть, R и а, имея одинаковую производную, могут отличаться лишь на величину постоянную в атом промежутке.
Рассмотрим (черт. 8) дугу М0 М эволюты, отсчитанную от неподвижной точки М„ с абсциссой х0, до переменной точки М, с абсцисой .г. Допустим, что радиус кривизны изменяется все время увеличиваясь, когда точка перемещается по кривой от М0 к М. Пусть Z0Z соответствующая дуга эволюты, так что M0Z0 и MZ суть радиусы кривизны R0 и R в точках М0 и М. Обозначим через о дугу Z0Z. Имеем
При х = д-(| это соотношение дает R0 = С, и мы получаем формулу, которую хотели доказать:
о = R - RO .
При доказательстве мы предположили, что R изменяется в одном и том же направлении; теорема оказалась бы неверной, если бы R имело maximum или minimum.
ОАМЕЧАПИК. Формулы (14) показывают, что всякая плоская кривая, которой радиус кривизны постоянен — есть окружность. В самом деле, так как а' и J3' обращаются в 0 вместе с R', а и р оказываются постоянными, и центр кривизны не зависит от положения точки на кривой.
313. Получение эвольвенты непрерывным движением. Ее аналитическое определение. Предыдущие теоремы дают способ получения эвольвенты непрерывным движением, когда известна эволюта. Вообразим нить вполне гибкую, нерастяжимую и бесконечно тонкую, которая навернута на эволюту и сходит с нее,
будучи касательной в точке Z0 и доходя до точки М0) где ее обрезывают (черт. 8). Пусть нить сматывается с эволюты, при чем она отделяется от кривой, оставаясь все времи касательной, и притом постоянно натянута; свободный конец нити опишет эвольвенту. В самом деле, когда вить сходит с кривой в точке Z, она принимает направление ZM, и так как смотанный отрезок при переходе от Z0 к Z возрос на дугу ZyZ, длина его будет R, а потому конец его попадет как раз в точку М. Так как длина Z01T0 отрезка, смотанного вначале, произвольна — ,одной п. той же эволюте соответствуют бесчисленное множество эвольвент.
Черт. 8.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490


Математика