Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Валле-Пуссен Ш.Ж. Курс анализа бесконечно малых Т.1
 
djvu / html
 

— 340 —
§ 2. Длина дуги плоской кривой. Наклон касательной.
300. Длина дуги плоской кривой. Рассмотрим кривую
.v --=/<*),
отнесенную к прямоугольным осям. Длина дуги 5, заключенной между точками х ~~ а, у -=f(a); x~~b, у -= f(b), по определению, есть предел периметра вписанного многоугольника, когда число сторон беспредельно увеличивается, и каждая сторона стремится к 0.
Мы покажем, допуская, что f(x) имеет непрерывную производную f (х), что этот предел существует и выражается некоторым определенным ингегралом.
Для этой цели возьмем на рассматриваемой дуге (я-}- Г) точек (считая и концы) и обозначим их координаты через .v, и у; , при чем абсциссы перенумерованы в порядке возрастающих величин; KI, yi , х„+\ , УП+I означают соответственно координаты концов а, /(с?); b, f(b).
Впишем многоугольник, имеющий вершинами эти (и-f-l) точек. Сторона с„ соединяющая (х/, у,} с (x,-+i, y,+\), имеет длину
С; ---
Формула конечных приращений дает
Vi+i —yi ==/ (?/) О/+1 — .г/), где ?,- есть промежуточное значение между д-, и х/л.\. А потому
Когда стороны многоугольника стремятся к 0, разности (,v,-_l_i — .г-/) также стремятся к 0, и
5 = lim ^ d = lim 2 (Л''+1 — хд V1 +/' ^')'2 • г 1
Этот предел, по определению, есть определенный интеграл, а потому окончательно
Операция вычисления длины дуги называется спрямлением. Мы вернемся к этой задаче в следующей главе, где будут даны и примеры.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490


Математика