Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Валле-Пуссен Ш.Ж. Курс анализа бесконечно малых Т.1
 
djvu / html
 

— 320 —
Так как f представляется в виде разности двух неотрицательных суммируемых функций, то можно ограничить доказательство случаем неотрицательной функции.
Обозначим через fn(x) вспомогательную ограниченную функцию, равную f(x), если /sgw, и п, если /> и. Для этой функции, по доказанному, имеем
Доказываемую формулу можно получить отсюда путем перехода к пределу, при п = со. Действительно, интеграл от fn (х) стремится при этом к интегралу от функции /(#), которую мы предположили суммируемой; остается лишь показать, что интеграл от /и(9)ф'(') стремится к интегралу от /(<р) 9' (f). Это заключение, однако, вытекает из теоремы II п° 264, ибо-/и 0?) ф'(0> п° абсолютной величине, не превосходит положительной суммируемой функции | /(ф) 9' (f) \ .
Вели выполнено условие, чтобы функция /(9) ?' (t) была суммируема в (/0, Т), то, в виду доказанного равенства, функция Ф (t) — F (9) должна быть абсолютно непрерывной в (t0, Т). Наоборот, если дана абсолютная непрерывность Ф(^), то в совокупности точек, в которых а вместе с тем, почти везде
Ф'М=/(9)9'(0.
ибо F' (?) совпадает с /(?) почти для всех 9, следовательно, почти для всех значений t, не обращающих tp' в нуль (предш. теор.). В тех же точках, где 9; = 0» выполняется неравенство
ибо / конечна и правая часть неравенства равна нулю.
Таким образом, написанное соотношение имеет место почти везде в (/„, Т) и из суммируемости, левой части вытекает суммируемость правой.
Можно, на основании сказанного, для случая неограниченной функции /(.*) теорему о замене переменной формулировать и так:
Если функция/ (х) конечна и суммируема в промежутке (а, Ь), т» формула замены переменной сохраняет силу при условии, что функция
9(0 Ф(0= I f(x)dx
а
абсолютно непрерывна *).
Условие эго заведомо выполняется, если, напр., функция щ (t) монотонна (по 281, 1°).
ЗАМЕЧАНИЕ. Если, суммируемая функция /(*•) не конечна, но обращается в бесконечность в некоторой совокупности точек меры нуль, т»
*) В виду теор. V (п° 275), достаточно, очевидно, предположить функцию Ф (t) имеющей ограниченную вариацию, чтобы предыдущие заключения сохранили силу. Прим. перев.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490


Математика