Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Валле-Пуссен Ш.Ж. Курс анализа бесконечно малых Т.1
 
djvu / html
 

— 310 —
Положит/,, равной / или п смотря по тому, будет ли/^и ил» п. Верхняя производная справа от интеграла
возрастающего менее быстро, чем Е, будет scjA; но она почти везде равна /п (п° 272), сиедовательно, почти везде Аг-;-/',;, а в виду произвольности п почти везде Л г^.-/, т. е. почти везде
По предшествующей теореме III, так как функция F (л) не убывает, имеем
>> I,
j' A ,/.v < F (b) - F (a) = Г /(.г) dx;
отсюда, принимая во внимание предшествующее равенство (имеющее место почти везде), получаем
ь I,
(А _/) ,/.v = f , А -/ | .( 'Т
Итак, этот интеграл равен нулю, и А =/ почти везде. То же имеет место и для других производных, так что теорема доказана.
СЛЕДСТВИЕ. Так как при вычислении интеграла можно пренебречь совокупностью (с мерой нуль) точек, в которых интеграл вовсе не имеет производной или его производная не равна подынтегральной функции, то можно высказать следующее предложение (L e b e s g u e):
Неопределенный интеграл от суммируемой функции является в то же время неопределенны м интегралом от своей собственной производной.
275. Теорема V. Непрерывная в данном промежутке функция, с ограниченной вариацией, имеет в этом промежутке почти ве.кя определенную конечную производную, которая _s свою_очсрс<>ь, суммируема (I, e b e s g u е).
Функция рассматриваемого типа представляется в виде разности двух непрерывных неубывающих функций (п° 88). Если бы теорема была верна для этих последних, то она была бы верна и для данной функции. Поэтому достаточно доказать теорему для функции F (x), непрерывной и неубывающей.
Пусть Ар будет одна из обобщенных производных функции F; при любом положительном //, по теореме III,
*•+/, f Ар dx ^ F (x + h) — F (.r),
так что
I
f

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490


Математика