Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Валле-Пуссен Ш.Ж. Курс анализа бесконечно малых Т.1
 
djvu / html
 

— 800 —
265. Неопределенный интеграл. Вместе с Н. Lebesgue'on, мы будем называть неопределенным интегралом выражение
-f С.
При этом предполагается, что х изменяется в пределах промежутка, в котором f(x) суммируема; С есть постоянная. Согласно этому определению, если через AaF обозначить приращение Р(#) в промежутке а = (ж1, .г"), т. е. разность F (х") — F (xr), то будем иметь
'f(x) dx = Д,,Р.
Таким образом, интеграл /' в промежутке, я равен приращению F ti :>нюм промежутке.
ТЕОРЕМА. Неопределенный интеграл F(.v) есть функция ограниченной вариации, абсолютно непрерывная; полная вариация ее в промежутке («,6) равна
г
\ f О) I <1х.
Докажем эти различные утверждения. Прежде всего, вспомним, что суммируемая функция / есть разность Д—./2'ДВУХ аналогичных неотрицательных функций (п° 262), так что
1?(х) = I fdx--=j fidx-J fadx
a a il
и функция Р (.v) представляется в виде разности двух не убывающих функций, следовательно, имеет ограниченную вариацию (п° 88).
Далее, обозначив через Е систему (конечную или исчислимую) промежутков я, имеем
V А 7/=, V
Последний интеграл может быть сделан произвольно малым, вместе с «Е, в силу свойства II п° 263; таким образом, сумма абсолютных приращений Р в системе промежутков стремится к нулю вместе с суммой длин этих промежутков, иными словами, функция F(x) абсолютно непрерывна.
Определим теперь величину полной вариации F в промежутке (а,Ь). С этой целью разложим (п,Ь) произвольным абразом на последовательные промежутки. Обозначим через а те из .них, в которых приращения ДаРположительны, а через р те, для которых ugF отрицательны. Сумма р и —п положительных и отрицательных приращений выражаются интегралами:

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490


Математика