Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Валле-Пуссен Ш.Ж. Курс анализа бесконечно малых Т.1
 
djvu / html
 

— 230 —
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПУТЕМ РАЗЛОЖЕНИЯ. Излагаемы! ниже способ применим всякий раз, когда оба показателя т и п суть числа целые и положительные. Но способ приведения к рациональному виду более практичен, за исключением разве лишь случаев, когда т и п оба четные.
Этот способ состоит в том, что с помощью формул тригонометрии выражают cos"x в виде суммы cosinus'OB кратных х, а sin'" .г1 в виде суммы sinus'ofi или cosinus'oB кратных х *). Перемножив, получим ряд произведений, которые сами по себе могут быть разложены по формулам
sinX х cosfj. х = — sin (X + "•) x -f- sin (X — и.) х ,
COSX ./; COS[J. X = — COS (X -|- ft) Ж -j- COS (X — p.) x
и эти новые выражения интегрируются непосредственно.
Когда т и п оба четные, часто на практике предпочтительнее следущий способ, который не требует запоминания.
*) Этд формулы легко выводятся из формулы Moivre'a. Возвышая тождество
2 cos х = (cos х -)- г sin .т) -j- (cos ж — г sin л-)
в НУ10 степень пи формуле бинома и принимая во внимание соотношения (cos х + i sin x)t> = cos />A- -j- / sin/A-, (cos x -f-' sin A-) (cos x — / sin A-) = 1, получаем без труда
2" cos" х = (cos ил? -j- г sin ;/л?)--|- н [ cos (п — 2) x -\- i sin (и — 2) д-] -j- !i(" ~ ^ [cos (» — 4) лт -f / sin (/; — 4) *) + ...
Отбрасывая мнимые члены, которые должны сократиться, получаем искомое выражение для cos" д":
2" cos» х = cos пх -\- п cos (н — 2) х -\- —---------L cos (и — 4) ?-{-.•.•
^
Коэффициенты здесь будут биномиальными коэффидиентами, так что равноотстоящие от концои члены этой формулы равны между собой.
Аналогичное выражение для sin" х получим пз этой формулы, заменив там х
на х -j- —— . В зависимости от того, будет ли п четное или нечетное, находим
" • / 1 \
2" sin» х =(— l)T[cos nx — n cos (и —2) х + " (" ~ l> cos (п — 4) л; — ...] ,
*?
"+' «(и —1) 2"вш»лг = (—1) 2 [sin»* —«sin (и —2) л-+------о------sin (» — 4) лг — ...).
В обоих случаях и здесь члены, равноотстоящие от концов, равны между собой

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490


Математика