Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Валле-Пуссен Ш.Ж. Курс анализа бесконечно малых Т.1
 
djvu / html
 

— 180 —
Первое уравнение дает Dy, второе D3_y, если в нем заменить DJV найденным значением, и т. д.
Перейдем затем к более общему случаю, когда имеется п функций и, v,... от т независимых переменных х, у, ..., определяемых из п уравнений
Р,- (х, у....; и, v, ,.) = 0 (г = 1, 2, .. п).
Дифференцируя последовательно, подучаем системы уравнений
[дх ^ -1- ду иу Т 1 Эм ч Э# 1 -• 1 ' ' \2 ЭР,- ^ ЭР,-. „ }
дх аи " / Эм Э& " ' /
Первая система, как мы зяаем, дает полные дифференциалы первого порядка du, dv,.... Подставляя их значения в следующую систему, получаем оттуда d2u,d2v,... и так далее. Всякий раз приходится решать систему п линейных уравнений, причем впервой системенеизвестными являются du, dv,..., во второй с/2 «, cPv,... и т. д
Заметим, что во всех системах, определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, один и тот же. Это— определитель J, который должен быть отличен от 0.
Частные производные, порядка р функций и, ... получатся опять по способу п° 157, если отождествить вычисленное выражение для d? и с общим выражением этого дифференциала
^г^ dx -{--т— dy 4- .... | ox oy ^ ' I
Эти производные можно вычислять и непосредственно, дифференцируя каждое из данных уравнений полным образом лишь по одной из независимых переменных. Однако, предыдущий способ, вообще говоря, более удобен на практике.
Примеры для упражнений.
1. Вычислить последовательные производные функции у от х, определяемой из уравнения
Log / хг +у* = arc tg ^- .
Л
.-, dy x-\-y dzy х2 -4-1
Отв. -/- = —Ь^_ J — 2 ----Ы
«д; л;—у ах* (х—у

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490


Математика